Обобщенный закон Гука

Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.

Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σ_х, равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σ_y = σ_z = τ_хy = τ_хz = τ_yz = 0.

Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой

где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа, поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).

Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций

где μ – константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25–0,3.

Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σ_x, σ_y, σ_z, равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации

Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения

Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.

Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р, даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = Qδ, который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).

Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.

Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.

Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука. Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ. Для этого рассмотрим частный случай, когда σ_х = σ, σ_y = –σ и σ_z = 0.

Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0bс, нормальные напряжения σ_v на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Из уравнений (5.2а) следует, что

то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b: ε_y = –ε_x.

Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0bс:

Отсюда следует, что

и при малых γ получим

Отсюда и, следовательно,

Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют компоненты деформаций через компоненты напряжений. Выведем обратные соотношения — напряжения через деформации.

Складывая уравнения (5.2а) и используя обозначения

получаем зависимость между средней деформацией и средним напряжением

Поскольку Зε₀ равно объемному расширению, величину называют модулем объемного расширения. Используя соотношения (5.4) и решая уравнения (5.2а) относительно σ_х, σ_у, σ_z, получим

Если учесть, что , то закон Гука запишется в виде

Тогда соотношения (4.11) можно записать в виде

Если ввести символ Кронекера , то закон Гука в краткой записи примет вид

vse-lekcii.ru

Определение модуля объемной деформации и модуля сдвига

Изложенное выше показывает, что для описания процесса деформирования грунта с использованием модели линейно деформируемой среды достаточно знать две деформационные характеристики: модуль деформации и коэффициент Пуассона, которые могут быть вычислены по результатам экспериментальных исследований. Эти характеристики обычно применяются при решении одномерной задачи компрессионного уплотнения. В общем случае при решении плоской и пространственной задач бывает удобно любую деформацию грунта представить в виде суммы объемных деформаций и деформаций сдвига. При этом используются деформационные характеристики грунта: модуль объемной деформации К и модуль сдвига G, которые могут быть определены следующим образом.

Преобразуем правую часть уравнений обобщенного закона Гука:

где

Здесь первые члены правой части уравнений характеризуют деформации сдвига (формоизменения грунта), а вторые — объемные деформации. Если определить из этих выражений значение объемных деформаций ε_v=ε_x+ε_y+ε_z, то сумма первых членов правых частей будет равна нулю, т. е. при действии только нормальных напряжений деформации формоизменения отсутствуют. Тогда уравнения можно записать в виде

Отсюда легко выразить коэффициент Пуассона:

Таким образом, зная из опыта любую пару деформационных характеристик грунта можно определить остальные характеристики.

Дата добавления: 2015-04-16 ; просмотров: 382 . Нарушение авторских прав

studopedia.info

ЗАКОН ГУКА

Научно-технический энциклопедический словарь .

Смотреть что такое «ЗАКОН ГУКА» в других словарях:

закон Гука — Закон, устанавливающий пропорциональность между напряжением и деформацией (см. elastic constant) [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Hooke s law … Справочник технического переводчика

Закон Гука — – основной закон, устанавливающий в известных пределах прямолинейную зависимость между напряженным состоянием и деформацией упругого тела. [Большая советская энциклопедия. М.: Советская энциклопедия. 1969 1978.] Рубрика термина: Теория и… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

ЗАКОН ГУКА — закон, устанавливающий линейную зависимость между (см.) твёрдого тела и приложенным механическим напряжением. Согласно З. Г. сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению тела и направлена в сторону, противоположную… … Большая политехническая энциклопедия

Закон Гука — Механика сплошных сред … Википедия

закон Гука — [Hooke s law] упругая деформация материала прямо пропорциональна приложенному напряжению: εн = σ/Е (для одноосного растяжения) и γ = τ/G (для сдвига), где εн относительная продольная деформация (Δl/l); ΔТ относительный сдвиг; σ нормальное… … Энциклопедический словарь по металлургии

Закон Гука — Hooke s law Закон Гука. Обобщение, применимое ко всем твердым материалам, которое показывает, что напряжение прямо пропорционально деформации и выражается как Е = constant = σ/ε = Напряжение/деформация, где Е модуль упругости (Юнга). Постоянное… … Словарь металлургических терминов

закон Гука — Huko dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Hooke’s law vok. Hookesches Gesetz, n rus. закон Гука, m pranc. loi de Hooke, f … Fizikos terminų žodynas

Закон Гука — основной закон теории упругости, выражающий линейную зависимость между напряжениями и малыми деформациями в упругой среде. Установлен P. Гуком (1635 1703) в 1660 г. При растяжении стержня длиной l его удлинение пропорционально растягивающей силе… … Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

закон гука для рiдини при всесторонньому стисненнi — закон Гука для жидкости при всестороннем сжатии Hooke’s law for liquid in all round compression Hookesches Gesetz für die Flüssigkeit bei allseitiger Kompressibilität – змiна об’єму рiдини V при всесторонньому стисненнi прямо пропорцiйна змiнi… … Гірничий енциклопедичний словник

обобщенный закон Гука — [generalized Hooke s law] устанавливает линейную связь между напряжениями и деформациями в любых направлениях, т.е. между каждым компонентом тензора напряжений и каждым компонентом тензора деформаций: εx = [σx μ(σy σz)]E; γxy = τxy/G; εy = [σy… … Энциклопедический словарь по металлургии

dic.academic.ru

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и .

Закон Гука

Для бруса с одним силовым участком при постоянной продольной силе /14. и постоянном поперечном сечении А абсолютное изменение его длины определяется по закону Гука [c.7]

Используя закон Гука, составляем физические уравнения [c.74]

Межосевое расстояние (из расчета по допускаемой удельной нагрузке на единицу ширины катка, так как материал обкладки одного из катков не следует закону Гука) [c.118]

Уравнение связи между напряжениями и деформациями в приращениях в соответствии с принятой моделью и законом Гука имеет вид [c.16]

Деформации у вершины трещины определяются с помощью известных зависимостей деформационной теории пластичности, а также закона Гука [124] [c.209]

Вычисляя деформации е в зависимости от смещения узла и применяя закон Гука, найдем напряжение в каждом стержне [c.276]

Не вникая в механизм относительных смещений зерен, примем следующую макроскопическую гипотезу, обобщающую закон Гука на насыщенную пористую среду, а именно тензор эффективных напряжений af определяется законом Гука через тензор [c.234]

Естественно, что деформации материала зерен также описываются законом Гука, который, с учетом температурного расширения, имеет вид [c.235]

Подчеркнем, что полученное уравнение есть следствие предположения, что именно разность осредненных напряжений в фазах, определяющая фиктивные напряжения, формирует по линейному закону Гука деформации скелета из-за смещений зерен друг относительно друга. Таким образом, это уравнение задает совместное деформирование фаз с учетом несовпадения давлений в фазах из-за прочности скелета. В газожидкостных смесях давления в фазах могли различаться только из-за поверхностного натяжения и радиальных инерционных эффектов, описываемых уравнениями типа Рэлея — Ламба для размера пузырьков, а следовательно, и для объемного содержания фаз, когда разница между осредненными давлениями в фазах воспринималась поверхностным натяжением и радиальной мелкомасштабной инерцией и вязкостью жидкости. В насыщенной пористой среде разница между осредненными напряжениями воспринимается прочностью межзеренных связей. [c.237]

Силу F в этом случае называют линейной восстанавливающей силой. Силы упругости, подчиняющиеся закону Гука, являются линейными восстанавливающими силами. [c.428]

Один из способов основан на том, что толщина образца на участках действия растягивающих напряжений уменьшается согласно обобщенному закону Гука на величину [c.157]

Следовательно, закон Гука только приблизительно описывает поведение металла под нагрузкой и то лишь при статическом и кратковременном нагружении. Тем не менее им продолжают пользоваться в качестве привычной, удобной и для практических целей достаточно точной аппроксимации. [c.198]

В соединении возникает термическая сила Р вызывающая по закону Гука относительное удлинение болта l и укорочение втулки j [c.361]

НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЗАКОН ГУКА [c.129]

Область применения закона Гука ограничивается некоторым предельным напряжением, называемым пределом пропорциональности. При напряжении, превышающем предел пропорциональности, линейная зависимость между напряжением и деформацией нарушается. [c.131]

Формулы (1.164) п (1.168) получены при пспользовашш ряда упрощающих допущений справедливость закона Гука при деформации труСы и жидкости, отсутствие трения в жидкости и других видов рассеивания энергии в процессе удара и равномерность распределения скоростей по сечеиию трубы. [c.146]

Таким образом, задача сводится к описанию дес юрмации зернистой среды под дeil твиeм внешних сил. Для этого были использованы известные уравнения, описывающие деформации грунтов (уравнение Ламе для упругой среды, подчиняющейся линейному закону Гука) и линейный закон фильтрации Дарси. Полученная замкнутая система уравнений позволяет после некоторых упрощений с помощью ЭВМ определить профили скорости на входе и на выходе из слоя. [c.278]

Наибольшее распространение получили механические методы, которые в основном различаются характером расположения измеряемых баз и последовательностью выполнения операций разрезки и измерения деформаций металла. Напряжения в пластинах в простейшем случае определяют, считая их однородными по толщине, что справедливо только в случае однопроходной сварки. Так как разгрузка металла от напряжений происходит упруго, то по измеренным деформациям вырезанной элементарной пластинки на основании закона Гука можно вычислить ОН [214]. В случае ОСН при многопроходной сварке, применяемой при изготовлении толстолистовых конструкций, распределение напряжений по толщине соединения крайне неоднородно [86—88], поэтому достоверную картину распределения напряжений можно получить либо только по поверхности соединения [201], либо по определенному сечению посредством поэтапной полной разрезки образца по этому сечению с восстановлением поля напряжений с помощью численного решения краевой задачи упругости [104]. Последний экспериментальночисленный метод [104] будет рассмотрен подробно далее. [c.270]

ДИЛИ при помощи механического съемного тензометра с инди каторной головкой (2.14]. Замеряли деформации на базе 100 мм в двух взаимно перпендикулярных направлениях у и х до и после сварки. По результатам деформаций, обусловленных сваркой штуцеров, на основе закона Гука определяли реактиВ ные напряжения а х и Оуу. Расчет реактивных напряжений про [c.313]

Закон Гука при малых и упругих деформациях пористого скелета. Пусть h 2 — смещения микроточек твердой фазы, отсчитываемые от их положений, которые они занимают, когда все микронапряжения а 2 = 0. Далее — среднее смещение элементарного макрообъема dV (см. (2.2.5)).Если деформации микрообъемов твердой фазы малы, то тензор микродеформаций можно представить в виде [21] [c.233]

Если (39) выразить в компонентах, то получим обобп1енный закон Гука в следующей форме [c.574]

Тензометрироваине. Тензометр представляет собой прибор, позволяющий измерять изменение длины между дву.мя точками образца при приложении нагрузки. Величину напряжений определяют косвенно через упругую деформацию на основании закона Гука. [c.154]

При одноосном напряженном состоянии (растяжение, сжатие) достаточно уетановрть один датчик с базой, расположенной по направлении) действия- рапряхеепия, Величина напря жения определяется по закону Гука (а еЕ, где е относительное удлинение проволоки датчика). [c.155]

В ферменном кронштейне, нагруженном растягивающей силой Р (рис. 277, а), средний стержень нагружен значительно больше боковых. Упругая деформация среднего стержня под нагрузкой (а следовательно, до закону Гука и напряжения растяжения в нем) больше деформации боковых Стержней в отношении s/s ss 1/ osa (гфи а = бО -т-70 в 2-3 раза). [c.403]

Смотреть страницы где упоминается термин Закон Гука : [c.9] [c.143] [c.18] [c.27] [c.89] [c.6] [c.21] [c.6] [c.26] [c.224] [c.229] [c.307] [c.169] [c.227] [c.271] [c.6] [c.574] [c.155] [c.169] [c.169] [c.133] [c.134] Смотреть главы в:

mash-xxl.info

Механика грунтов задачи

Название: Механика грунтов в схемах и таблицах Автор: Заручевных И. Ю., Невзоров А. Л Приведены примеры решения задач, вопросы для контроля знаний и словарь терминов и

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета грунтовых оснований и сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (А. К. Бугров, С. С. Вялов, Е. Ф. Винокуров, А. Л. Гольдин, Б. И. Дидух, Ю. К- Зарецкий,

А. Л. Крыжановский, Г. М. Ломизе, В. Н. Ломбардо, М. В. Ма

лышев, Л. Н. Рассказов, В. И. Соломин, А. С. Строганов, А. Б. Фадеев, В. Г. Федоровский, В. Н. Широков, С. Десаи, Д. Друккер, Р. Клаф, В. Прагер, М. Харр , Л. Финн и др.). Отметим основные положения каждого из этих подходов.

Нелинейно-упругое направление основывается на нелинейных зависимостях между напряжениями и деформациями, принимаемых едиными во всех точках грунтового массива, как при нагружении,, так и разгрузке. При этом пластические деформации учитываются в сумме с упругими путем применения эмпирических зависимостей «напряжение — полная (упругая + пластическая) деформация».

Как известно, задачи линейной и нелинейной теории упругости состоят в том, чтобы, зная действующие нагрузки и граничные условия, определить в любой точке массива (тела) напряжения, деформации и перемещения в виде функций координат точек массива (тела). Исходными для решения этих задач являются уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические уравнения.

Задачи нелинейной теории упругости могут характеризоваться физической или геометрической нелинейностью, либо в общем случае иметь одновременно и ту, и другую. Под физической понимается нелинейность физических уравнений, т. е. наличие нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями. Под геометрической понимается нелинейность связи деформаций с перемещениями (см. § 2.1), т. е. нелинейность геометрических соотношений. Большинство нелинейных задач механики грунтов — это физически нелинейные задачи.

Физически нелинейная теория упругости применяет исходные уравнения, которые по своему составу те же, что и в линейной теории упругости. Из них уравнения равновесия и геометрические соотношения в обеих теориях полностью идентичны, а различными являются лишь физические уравнения. Нередко физические уравнения при решении нелинейных задач принимаются в виде тех же соотношений обобщенного закона Гука (2.16), что и в линейной теории упругости, но при переменных, зависящих от напряженного состояния, значениях модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V, либо эквивалентно их заменяющих модулей О и К (см. § 2.2). Предпочтение часто отдается величинам С и К- В этом случае физические уравнения, решенные относительно напряжений.

Задачи курса механики грунтов Основной задачей курса является обучить . Механика грунтов в схемах и таблицах ( 2007).

Поскольку уравнения (10.21) при переменных О и К выражают нелинейную связь между напряжениями и деформациями, их принято называть зависимостями (уравнениями) Генки (см. § 2.2) в отличие от зависимостей Гука, в которых С и К являются постоянными. Зависимости Генки обобщают закон Гука и предполагают, как и закон Гука, коаксиальность тензоров напряжений и деформаций и подобие напряженного и деформированного состояний.

Зависимости Генки, связывая напряжения с полными деформациями, используются в деформационной теории пластичности для описания поведения упругопластических материалов. Поскольку уравнения равновесия и геометрические соотношения нелинейной теории упругости и деформационной теории пластичности полностью совпадают, то решение нелинейной упругой задачи, как показано в механике сплошной среды, одновременно является и решением задачи деформационной теории пластичности для случая нагружения среды, т. е. уравнения нелинейной теории упругости суть уравнения деформационной теории пластичности и наоборот. Имея это в виду, в нелинейной механике грунтов рассматриваемый нелинейно-упругий подход часто определяется как подход с позиций деформационной теории пластичности.

К уравнениям физически нелинейной теории упругости, включающим зависимости Генки, классические методы интегрирования, развитые в линейной теории упругости, неприменимы. При решении задач физически нелинейной теории упругости приходится прибегать к методу последовательных приближений (итераций). Решение нелинейной задачи при этом сводится к решению последовательности линейных задач, из которых каждая является некоторой отдельной задачей линейной теории упругости. Этот способ получил название метода упругих решений и он применяется на практике в различных вариантах. Достаточно просто реализуется, например, вариант переменных коэффициентов упругости. В этом случае используются физические уравнения (10.21) с коэффициентами упругости 0„_х и Кп-ъ которые при решении п-й линейной задачи принимаются постоянными в смысле независимости их от величин напряжений и деформаций только этой задачи. Значения О п_ х и К п- устанавливаются по формулам, следующим из соотношений (10.13), (10.18) и (10.19)

При подстановке в эти формулы эмпирических зависимостей для е и принимаются из решения предыдущей (п—1)-й задачи. Заметим, что каждая линейная задача из общей их последовательности в способе переменных коэффициентов упругости является задачей для неоднородного по деформируемости массива, причем при переходе от предыдущей к последующей задаче характер неоднородности, т. е. распределение модулей С и К по массиву, меняется. Решение физически нелинейной задачи считается полученным, если результаты последних (И—1) и N последовательных приближений (т. е. последних N—1 и Л^-линейных задач) удовлетворяют определенным требованиям, например, если различие модулей, либо других величин не превышает определенного наперед заданного значения. В этом случае считают, что имеет место сходимость полученного приближенного решения нелинейной задачи к объективно существующему, но неизвестному, точному решению. Заметим, что скорость сходимости, т. е. необходимое число приближений (итераций) /V, зависит от целого ряда факторов, в том числе и от вида зависимостей (10.18), (10.19), аппроксимирующих экспериментальные результаты испытания грунта в приборах.

Какие задачи ставятся в механике грунтов? — раздел Механика, МЕХАНИКА ГРУНТОВ Задачи Прогноза Механического Поведения Грунтов И Грунтовых Массивов.

Рис. 10.14. Напряженн 0е состояние линейно- (1) и нелинейно-(2) упругого основания, нагружаемого жестким штампом, и результаты эксперимента (кружки)

В целом нелинейно-упругие решения (решения в рамках деформационной теории пластичности) позволяют получить более достоверные по сравнению с линейными результаты и, в частности, обеспечивают учет нелинейности связи напряжений с деформациями, зависимости деформаций формы и объема от инвариантов напряженного состояния. Однако эти решения, принимая конечные нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями, в то же время не позволяют учесть в расчетах траекторию нагружения, появление не- соосности тензоров напряжений и деформаций и нарушение подобия напряженного и деформированного состояний, характерных для сложных путей нагружения грунтов. Из этого следует, что применение нелинейно-упругих решений к грунтовым массивам следует ограничивать случаями простых или близких к ним траекторий нагружения.

Для иллюстрации возможностей нелинейно-упругого решения (деформационной теории пластичности) приведем пример расчета глинистого основания, которое в лабораторном лотке нагружалось штампом шириной 2а = 30 см в

условиях плоской деформации (опыты С. С. Вялова и А. Л. Миндича). В результате исследования грунта на стабилометре были получены зависимости для сдвиговой и объемной деформаций в виде 0- = 1,14 сг Ср8г(0,01 + е*)

-1, сг Ср = = 5,59е ср. Из них следует, что К — 5,59 МПа, а модуль О определяется формулой О = Внимание, только СЕГОДНЯ!

ubaradiox.ru