Гармонические колебания: кинематика, динамика, маятники

126.Некоторая точка движется вдоль оси Х по закону х = А×sin 2 (w×t — π/4). Найти амплитуду и период колебаний; изобразить график х(t). Данное в условии задачи уравнение необходимо привести к каноническому (простейшему) виду. Воспользуйтесь тригонометрическими преобразованиями. Построение графика стандартно.

127.Обруч диаметром 56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний. Сделайте чертёж. Найдите уравнение, отражающее период колебаний твёрдого тела. Уточните, как вычисляется момент инерции обруча, куда приложена к обручу возвращающая сила.

128.Некоторая точка движется вдоль оси Х по закону х = А×sin 2 (w×t — π/4). Найти проекцию скорости υ_х как функцию координаты х; изобразить график υ_х(х). Данное в условии задачи уравнение необходимо привести к каноническому (простейшему) виду. Воспользуйтесь тригонометрическими преобразованиями. Не забудьте, как связана скорость с перемещением. Построение графика стандартно.

129.Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6. Начальная фаза равна нулю. Смещение точки из положения равновесия в момент времени t = T/4 равно 4,5 см. Написать уравнение этого колебания х(t). Найдите уравнение динамики затухающих колебаний (учебник, записи лекций). Уточните закон, по которому осуществляются затухающие колебания, смысл понятия «логарифмический декремент» затухания. Смещение в момент времени Т/4 позволяет найти максимальное отклонение от положения равновесия.

130.Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями х = 2×sin(ω×t);у = – соs(ω×t) (смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t = 0,5 с. Уточните понятие «уравнение траектории». Придётся преобразовать систему уравнений к каноническому виду у(х). Построение графика стандартно. При нахождении кинематических характеристик скорости и ускорения уточните их связь с координатой.

131.Частица массы m находится в одномерном потенциальном поле, где её потенциальная энергия зависит от координаты x как U(x) = U_o×(1 –соs(α×х)), гдеU_o и α – некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия. Зависимость потенциальной энергии от координаты определяется законом изменения силы, что позволяет найти зтот закон. Учтите, период колебаний определяется не только мерой инертности частицы, но и жёсткостью поля.

132.Математический маятник массой 100 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,25×sin(2p×t)(смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). Определить натяжение нити в момент времени t = T/2. Сделайте чертёж с учётом данных задачи. Воспользуйтесь уравнением динамики поступательного движения.

133.Вычислить период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра m = 50 г, радиус его трубки r = 3,2 мм, плотность жидкости ρ = 1 г/см 3 . Сопротивление жидкости отсутствует. Жидкость проявляет упругие свойства, можно определить коэффициент жёсткости воды. Период колебаний определяется как мерой инертности ареометра, так и жёсткостью воды.

134.Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x = 0,05×sin(2×t) (смещение из положения равновесия – в метрах, время – в секундах). В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 5 мН, точка обладала потенциальной энергией 0,1 мДж. Найти фазу колебаний в этот момент времени. Сделайте чертёж с учётом данных задачи. Воспользуйтесь понятиями силы и энергии. Учтите, это применяется для колебательного движения. Для нахождения скорости и ускорения уточните их связь с координатой.

135.Груз массой m подвешен к системе двух последовательно соединенных пружин жесткостями k₁ и k₂. Система выведена из состояния равновесия и предоставлена сама себе. Энергия, сообщённая системе, равна W. Написать уравнение колебаний, определить амплитуду и частоту колебаний. Сопротивление не учитывать. Сделайте чертёж. Из условия равновесия выразите коэффициент жёсткости системы k, что позволит найти максимальную деформацию системы. Период колебаний определяется как мерой инертности системы, так и её жёсткостью.

136.Амплитуда колебаний материальной точки массой 3 г равна 15 см, круговая частота 10 рад/с. Определить максимальную величину возвращающей силы и максимальную кинетическую энергию точки. Сделайте чертёж. Запишите закон, по которому совершаются гармонические колебания, и выражения для определяемых величин. Уточните, каких величин не хватает, из каких уравнений и с помощью каких математических действий их можно выразить. Удачи.

137.Тело движется под действием силы F = f×cos(ω×t) по закону x = С×sin(ω×t) (f = 2 Н, С = 10 см, ω = π/3 рад/с). Найти работу силы и её среднюю мощность за время t = Т. Запишите выражение для элементарной работы. Придётся продифференцировать x, чтобы найти элементарное перемещение. Далее идёт интегрирование, будьте внимательны. Уточните понятие «мощность». Действуйте.

138. Груз массой 500 г, подвешенный на пружине, коэффициент жесткости которой 50 Н/м, помещен в масло. Коэффициент сопротивления в масле r =0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F

sin(w×t) (сила– в ньютонах, время – в секундах). При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? Условие тяжело удерживается в голове? Не отчаивайтесь. В записях или в книге найдите вынужденные колебания. Отыщите уравнение динамики вынужденных колебаний. Разберитесь в символах, что они отображают. Найдите уравнение, отражающее амплитуду вынужденных колебаний. Осталось разобраться с условием максимума для этого уравнения. Дерзайте.

139.На горизонтальнойплоскостискоэффициентомтрения µ = 0,1лежитбрусок массыm =0,5 кг,соединенный горизонтальной недеформированной пружинкойсостенкой.Жесткостьпружинки k = 2,45 Н/см,а её масса пренебрежимо мала.Брусок сместили так, что пружинка растянулась на х_о = 3 см,азатемотпустили. Найти число колебаний, которое совершит брусок до остановки. Сделайте чертёж(и). Учтите, совершается колебательный процесс при наличии силы трения. Напрашивается закон сохранения энергии, лучше к каждой четверти периода. Далее придётся думать, как из этой системы получить уравнение, отражающее условие задачи.

140.Под действием силы F = А×cos(ω×t) (A = 2 Н, ω = π/3 рад/с) движется тело массой 100 г. Начальная скорость тела равна нулю. Найти зависимость кинетической энергии тела от времени. Привести её к каноническому (простейшему) виду. Определить максимальное значение энергии. Придётся уточнить понятие силы и найти закон изменения ускорения. Как оно связано со скоростью движения тела? Не избежать интегрирования, не забудьте учесть начальные условия. Как определяется кинетическая энергия? Уравнение скорости уже есть.

141. Однородный диск радиуса R = 13 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания l = 1. Сделайте чертёж(и). Нашли уравнение для периода затухающих колебаний физического тела? Уточнили, где проходит ось вращения и как вычислить момент инерции. Не забудьте учесть связь коэффициента затухания с логарифмическим декрементом затухания. Кстати, в этой связке опять появится искомый период затухания. Внимательнее в преобразованиях.

142.Записать уравнение гармонических колебаний частицы, если на расстояниях х₁ и х₂ от положения равновесия её скорость равна υ₁ и υ₂. Уравнение гармонических колебаний можно найти в книге (лекции). Остаётся заняться поиском амплитуды и круговой частоты колебания. Придётся записать уравнения координаты и скорости для указанных значений. Не забудьте, моменты времени у соответствующей координаты и скорости одинаковы. Остаётся решить две системы уравнений относительно искомых величин. Внимательнее в преобразованиях.

143.Определить период малых колебаний шарика, подвешенного на нерастяжимой нити длины ℓ = 20 см, если он находится в идеальной жидкости, плотность которой в η = 3 раза меньше плотности шарика. Сделали чертёж? Определились в силах, действующих на шарик? Равнодействующую нашли? А уравнение периода колебаний материальной точки нашли (учебник, лекции)? Ускорение создаваемой равнодействующей силой поддаётся нахождению? Тогда всё за преобразованиями.

144.Затухающие колебания точки происходят по закону х = а_о×е — β × t ×sin(w×t). Найти моменты времени, когда точка достигнет крайних положений. Придётся вспомнить условие максимума из математики. Заглянули в учебник (лекции) по математике? Будьте внимательны в производной. Вспомните обратные тригонометрические функции. Точно помогут.

145.Найти период малых поперечных колебаний шарика массы m =40 г, укреплённого на середине натянутой струны длины ℓ = 1 м. Силу натяжения струны считать постоянной и равной F = 10 Н. Массой струны и силами тяжести пренебречь. Сделайте чертёж. Представьте на нём силы, с учётом условия задачи. Уравнение периода колебаний материальной точки зависит лишь от параметров колебательной системы, но не зависит от пространственного расположения системы. Нашли (учебник, лекции)? Учтите, шарик расположен посередине, сила постоянна. Удачи в преобразованиях.

146.Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой х_о = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда её период колебания меньше Т = 1 с. Сделайте чертёж. Уточните в кинематике колебательного процесса функциональную зависимость ускорения от времени. Определитесь, почему начинается скольжение.

147.Тело совершает крутильные колебания по закону j = j_о×е — β × t ×cos(w×t). Найти моменты времени когда, угловая скорость максимальна. Придётся вспомнить из физики понятие «угловая скорость» и условие максимума из математики. Заглянули в учебники (лекции) по физике, математике? Будьте внимательны в производных. Точно помогут, если удачно учтёте момент времени.

148.К пружинке подвесили грузик, и она растянулась на Dх = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания l = 3,1. Колебательный процесс совершается при наличии сил трения, загляните в курс физики (записи) и уточните, от чего зависит период затухающих колебаний. Будьте внимательны в преобразованиях.

149.Осциллятор массы m, движется по закону х= а×sin(w×t) под действием постоянной силы F = F_о×sin(w×t). Найти коэффициент затухания β осциллятора. Найдите уравнение вынужденных колебаний (учебник, записи). Уточните понятие «гармонический осциллятор», аналитическое выражение для силы сопротивления. Каково её соотношение с действующей постоянной силой? Преобразуйте с учётом данных. Удачи.

150.Под действием момента сил М = М_о×cos(w×t) тело совершает вынужденные крутильные колебания по закону j = j_о×cos(w×t – a). Найти работу сил трения, действующих на тело, за период колебания. Уточните аналитическое выражение для элементарной работы при вращательном движении. Придётся интегрировать, аккуратнее в преобразованиях.

studopedia.org

Методические указания по физике для студентов-заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика» (раздел «Механика»)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Методические указания по физике для студентов – заочников, обучающихся по направлению «Прикладная математика»

(раздел «Механика»)

Преподаватель: к. ф.-м. наук, доцент

СОДЕРЖАНИЕ

Динамика материальной точки 13

Закон сохранения импульса 17

Механическая работа и энергия 20

Моменты. Динамика твердого тела 26

Механика является первым разделом, который изучается в курсе общей физики. Но законы механики используются во всех других разделах физики. Поэтому от того, как будет понята механика, зависит успех дальнейшего понимания физики. Единого способа решения задач по физике не существует, но можно выделить некоторые общие правила, которыми следует руководствоваться.

1. Прежде всего, внимательно прочитайте задачу и хорошо вникните в ее условие. Установите, что приведены все данные, необходимые для решения задачи. Недостающие данные можно найти в справочниках.

2. Если позволяет характер задачи, обязательно сделайте рисунок или график, поясняющий ее сущность. Это облегчает как поиск решения, так и само решение.

3. Задачу следует сначала решить в общем виде (т. е. в буквенных обозначениях), чтобы искомая величина была выражении через данные задачи. Во-первых, это позволит установить, как искомая величина зависит от заданных величин. Во-вторых, решение в общем виде позволит проверить размерность полученной величины. Неверная размерность есть явный признак ошибочного решения. В-третьих, это дает возможность исследовать поведение решения в предельных частных случаях.

4. Получив численный ответ, оцените его правдоподобность. Такая оценка может обнаружить ошибочность полученного решения.

Не следует отчаиваться, если некоторые задачи не решаются сразу. Достоверно установлено, что процесс научного творчества протекает по следующей схеме: сначала идет подготовительная стадия, в ходе которой исследователь ищет решение проблемы. Если решение не удается найти, наступает вторая стадия – стадия инкубации. Ученый занимается другими вопросами, однако в подсознании происходит скрытая работа мысли, которая часто приводит в конечном итоге к третьей стадии – внезапному озарению и получению искомого решения. Но стадия инкубации не возникает сама собой. Для того чтобы пустить в ход бессознательное мышление, необходима интенсивная работа в ходе подготовительной стадии. Решение задач — это тоже вид творчества и подчиняется тем же закономерностям. Из сказанного следует, что не следует откладывать решение задач на последний день, в этом случае наиболее сложные и интересные задачи могут остаться нерешенными.

Каждый студент должен решить 10 задач, чтобы получить зачет по механике: по 2 задачи на «Кинематику», «Работу и энергию», «Моменты» и «Колебания» и по 1 задаче на «Динамику» и «Закон сохранения импульса». Номер варианта студент определяет по последней цифре своего номера в списке группы. Например, если в списке группы у студента номер 13, значит, его вариант – 3. Задачи, соответствующие этому варианту определяются аналогично. Т. е. третьему варианту будут соответствовать задачи 1.3, 1.13, 2.3, 3.3, 4.3, 4.13, 5.3, 5.13, 6.3, 6.13. Всего предусмотрено 10 различных вариантов задач. Желаю успеха!

1. К И Н Е М А Т И К А

Простейшим объектом, движение которого изучает классическая механика, является материальная точка. Материальной точкой называется макроскопическое тело, размерами которого можно пренебречь в рассматриваемом движении и считать, что все вещество тела как бы сосредоточено в одной точке. Например, Землю при рассмотрении ее орбитального движения вокруг Солнца можно принять за материальную точку.

Положение точки в какой-либо произвольной системе отсчета можно характеризовать либо ее радиус-вектором r, либо координатами x, y, z, являющимися проекциями радиус-вектора на координатные оси. Полное описание движения сводится поэтому к нахождению координат как функций времени x(t), y(t), z(t), или к нахождению векторной функции r(t).

Пусть в момент времени t материальная точка находилась в положении М с радиус-вектором r(t).Спустя время Δt она переместилась в положение М1 с радиус-вектором r1 = r(t+Δt) (см. рис.1.1). Тогда путь Δs – это длина участка траектории, пройденного за Δt. А вектор Δr = r—r1 – перемещение за Δt.

Величина = Δr/Δt называется средней скоростью движения за время Δt. Направление средней скорости совпадает с направлением хорды ММ1, т. е. с Δr.

Мгновенной скоростью называется предел средней скорости при Δt→0, т. е. . Мгновенная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движения. Модуль скорости , т. к. при Δt→0 путь Δs равен перемещению Δr. Тогда путь, пройденный телом . При прямолинейном движении .

При криволинейном движении скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть в момент времени t материальная точка имела скорость v, а спустя промежуток времени Δt ее скорость изменилась и стала v1. (см. рис. 1.2).

Величина называется средним ускорением за время Δt. Мгновенным ускорением a называется вектор, равный первой производной вектора скорости v или второй производной радиуса-вектора r по времени:

.

Разложим вектор Δv = v1—v на две составляющие: |СД| = |Δvτ| — представляет изменение скорости по модулю за время Δt. Вторая составляющая Δvn показывает изменение скорости по направлению. Тогда величина называется тангенциальной составляющей ускорения. Направлена aτ по касательной к траектории. Величина (где r-радиус кривизны траектории) называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена к центру кривизны траектории и отвечает за изменение скорости только по направлению. Полное ускорение a = aτ +an , а по модулю .

Если aτ=0, an = const – скорость по модулю не изменяется, а изменение по направлению , то радиус кривизны траектории не изменяется и следовательно тело движется по окружности.

По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводят угловую скорость и угловое ускорение. Эти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности. Пусть точка за время Δt прошла путь Δs, этому пути соответствует угол Δφ (рис. 1.3).

Тогда угловая скорость . Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта. Если ω = const, то вращение называется равномерным и можно ввести период и частоту вращения. Период вращения – это время одного полного оборота: . Частота вращения — число оборотов в единицу времени. Тогда ω = 2πν и ω в этом случае называют угловой частотой вращения.

Первая производная угловой скорости или вторая производная угла по времени называется угловым ускорением: . Связь между линейными и угловыми величинами: .

Пример решения задачи.

1.За промежуток времени τ = 10 с точка прошла половину окружности радиуса R = 160 см. Вычислить за это время: а) среднюю скорость ; б) модуль среднего вектора скорости | |; в) модуль среднего вектора полного ускорения | |, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

Поместим начало координат в точке 1 (рис.1.4).Тогда за время τ точка переместилась из положения 1 в положение 2 и вектор перемещения будет r21 , а пройденный путь, т. е. длина траектории, равен половине длины окружности. По определению средней скорости , где в нашем случае Δs = πR, Δt = τ. Тогда , а численное значение = 0,5 м/c.

Средний вектор скорости по определению , а его модуль . В нашем случае , и тогда . Численное значение | | = 0,32 м/c.

Средний вектор полного ускорения , где Δv = v2-v1 – приращение вектора скорости за время Δt, а его модуль . Из рисунка видно, что вектора v2 и v1 антиколлинеарны и | v2-v1| = v2+v1. Из условия задачи известно, что wτ – постоянно, а, следовательно, скорость по модулю линейно зависит от времени, т. е. v(t ) = v1+ wτt. При такой зависимости средняя скорость может быть определена как , откуда . Подставляя это уравнение в формулу для определения модуля среднего вектора ускорения, получим: . Подставив численные значения, получим .

2.Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением j = А+Вt3 (А = 2 рад, В = 4 рад/с3). Определить угол j, при котором полное ускорение составит с радиусом диска угол α = 450.

Модуль полного ускорения , где нормальная составляющая an направлена вдоль радиуса диска, а тангенциальная составляющая at направлена по касательной к диску. Из рисунка 1.5 видно, что

.

Когда угол α = 450, an = at и tgα = 1.

Найдем an и at. an = w2R, где w — угловая скорость: . Тогда

.

at = εR, где ε – угловое ускорение: . Следовательно,

.

Приравнивая an и at, найдем момент времени, когда угол между полным ускорением и радиусом диска будет равен 450:

.

Подставив полученное значение в формулу зависимости угла поворота диска от времени, получим

.

Подставив численные значения, получим j = 3,67 рад.

1.1. Точка прошла половину пути со скоростью v0 . Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v1 , а последний участок — со скоростью v2 . Найти среднюю за все время движения скорость точки.

Ответ: = 2v0(v1+ v2)/(2v0+ v1+ v2).

1.2. Две частицы, 1 и 2 , движутся с постоянными скоростями v1 и v2. Их радиус-векторы в начальный момент равны r1 и r2. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?

1.3. Два пловца должны попасть из точки А на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же — все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью u. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения v0 = 2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды v1 = 2,5 км/ч?

Ответ: u = v0/(1 — v20/v12 )-1/2 — 1 = 3,0 км/ч.

1.4. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2,0 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

Ответ: θ = arcsin (1/n)+p/2 = 120O.

1.5. Точка движется вдоль оси х со скоростью, проекция которой vx как функция времени описывается графиком (рис. 1.6). Имея в виду, что в момент t = 0 координата точки х = 0, начертить примерные графики зависимостей от времени ускорения аx, координаты х и пройденного пути s.

Ответ: см. рис. 1, 7.

1.6. Точка движется в плоскости xy по закону , где А и w — положительные постоянные. Найти:

а) путь s, пройденный точкой за время t;

б) угол между скоростью и ускорением точки.

Ответ: a) s = Awt; б) p/2.

1.7. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х, Ее скорость меняется со временем по закону v = vo(1-t/t), где vo-вектор начальной скорости, модуль которого v0 = 10,0 см/с, t = 5,0 с. Найти: а) координату х частицы в моменты времени 6,0, 10 и 20 с;

б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии

10,0 см от начала координат;

Ответ: а) x = v0t (1-t/2t); б) 1,1, 9 и 11 с.

1.8. Радиус точки A относительно начала координат меняется со временем t по закону r = сti-bt2j, где с и b — положительные постоянные, i и j— орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки y(x) ; изобразить ее график; б) зависимости от времени векторов скорости v, ускорения а и модулей этих величин; в) зависимость от времени угла a между векторами v и а; г) средний вектор скорости за первые t секунд движения и модуль этого вектора.

Ответ: a) y = -x2b/с2; б) v = сi-2btj, а = -2bj, v = , а = 2b;

в) tg a = с/2bt; г) ávñ = сi-btj, ½ávñ½ = .

1.9. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,10 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели в отсутствие сопротивления воздуха?

Ответ: Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.

1.10. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

Ответ: L = 8h sin.

1.11. Точка движется по окружности со скоростью v = bt, где b = 0,50 м/с2. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет n = 0,10 длины окружности после начала движения.

Ответ: a = b= 0,8 м/с2.

1.12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол j его поворота зависит от времени как j = bt2, где b = 0,20 рад/с2. Найти полное ускорение a точки A на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если линейная скорость точки A в этот момент v = 0,65 м/с.

Ответ: a = (v/t)м/с2.

1.13. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением ε = bt, где b = 2,010-2 рад/c3. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол α = 60 O с ее вектором скорости?

Ответ: t =

1.14. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а = 6,0 рад/c, b = 2,0 рад/с. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: а) = 2а/3 = 4 рад/с, = = 6 рад/c2; б) = 12 рад/c.

1.15. Снаряд вылетел со скоростью v = 320 м/с, сделав внутри ствола n = 2,0 оборота. Длина ствола L = 2,0 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.

Ответ: w = 2pnv/l = 2,0×103 рад/с.

1.16. Найти угловое ускорение ε колеса, если известно, что через время t = 2 c после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 600 с вектором ее линейной скорости.

Ответ: рад/c.

1.17. Найти линейную скорость v точек земной поверхности на географической широте φ, вызванную суточным вращением Земли вокруг своей оси.

Ответ: v = 1670cos φ км/c.

1.18. Якорь электромотора, вращавшегося с частотой N оборотов в секунду, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав n оборотов. Найти угловое ускорение якоря после выключения тока.

1.19. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен 60 см.

1.20. Разматывая веревку и вращая без скольжения вол ворота, ведро опускается в колодец с ускорением 1 м/c2. С каким угловым ускорением вращается вал ворота? Как зависит от времени угол поворота вала? Радиус вала ворота равен 25 см.

Ответ: ε = 4 рад/c2; φ = 2t2 рад.

2. Д И Н А М И К А М А Т Е Р И А Л Ь Н О Й Т О Ч К И

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):

.

Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории движения точки:

.

Третий закон Ньютона:

где F12 и F21 – силы, с которыми рассматриваемые материальные точки действуют друг на друга.

Пример решения задачи.

В системе массы тел равны m0, m1, m2, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела m1. Исследовать возможные случаи.

pandia.ru