Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.

Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. В этой статье мы разберемся, что называют раскрытием скобок, подробно опишем правила раскрытия скобок и рассмотрим применение этих правил при решении примеров.

Что называется раскрытием скобок?

В школьном курсе математики к раскрытию скобок подходят в 6 классе. На этом этапе под раскрытием скобок понимают избавление от скобок, указывающих порядок выполнения действий. А изучают раскрытие скобок при рассмотрении выражений, которые содержат:

• знаки плюс или минус перед скобками, заключающими суммы и/или разности, например, (a+7) и −(−3+2·a−12−b) ;

Однако ничто не мешает раскрытие скобок рассматривать немного шире. Почему бы не назвать раскрытием скобок переход от выражения, содержащего отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок, например, переход от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7 ? Или замена произведения выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d противоречит смыслу раскрытия скобок?

Итак, мы под раскрытием скобок будем понимать избавление от скобок, указывающих порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.

Правила раскрытия скобок, примеры

В выражениях можно встретить отрицательные числа в скобках, например, (−4) и 3+(−4) . Иногда можно встретить и положительные числа в скобках, к примеру, (4) и 3+(4) .

Например, число (5) запишется как 5 , выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5 , так как +(5) заменяется на +5 , а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5 , так как +(−5) заменяется на −5 .

Рассмотрим примеры. Возьмем простейшее выражение, состоящее из одного отрицательного числа в скобках, например, (−5) . Его можно записать без скобок как −5 . Аналогично, в выражении (−3)+0,5 скобки можно опустить, выражение примет вид −3+0,5 . Дальше рассмотрим выражение 4+(−3) , для избавления от скобок нам нужно согласно правилу заменить +(−3) на −3 , имеем 4−3 . Наконец, выражение −(−4)−(−3) после раскрытия скобок примет вид 4+3 , так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3 , а положительное число +4 вначале выражения можно записать без знака плюс (об этом мы упоминали при знакомстве с положительными и отрицательными числами). Для закрепления материала приведем еще один пример. Выражение (−3,7)−(−2)+4+(−9) может быть записано без скобок как −3,7+2+4−9 .

Отдельно заметим, что выражение 3·(−5) нельзя записать как 3·−5 , так как озвученное правило не говорит нам о том, на что заменяется отрицательное число в скобках со знаком умножить перед ними вида ·(−a) . О раскрытии скобок в подобных выражениях мы поговорим в следующих пунктах.

Первая часть правила следует из того, что разность a−b равна a+(−b) , так как в силу свойств действий с числами справедлива цепочка равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , которая в силу смысла вычитания доказывает, что a+(−b) есть ни что иное как разность a−b . Вторая часть правила следует из свойства противоположных чисел, которому соответствует формула −(−a)=a , а также правила вычитания отрицательного числа вида a−(−b)=a+b . Наконец, третья часть правила просто обусловлена особенностями записи отрицательных чисел, стоящих слева в выражении (о чем мы упоминали в разделе скобки для записи отрицательных чисел).

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Иными словами, умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Аналогичное правило справедливо и для частного двух чисел, так как деление можно рассматривать как умножение на обратное число.

Переходим к примерам.

Переходим к примерам раскрытия скобок в произведениях и частных двух чисел с разными знаками. Выражение (−3)·2 по озвученному выше правилу можно записать как (−3·2) , оно после окончательного раскрытия скобок примет вид −3·2 . Аналогично . Вот еще примеры раскрытия скобок при делении чисел с разными знаками: так (−5):2=(−5:2)=−5:2 и .

В произведениях трех и большего количества чисел

Теперь от произведений и частных двух чисел перейдем к произведениям и частным с бо́льшим количеством чисел. Для раскрытия скобок, содержащих отрицательные числа, в таких выражениях следует руководствоваться следующим правилом:

Дадим обоснование приведенного правила. Во-первых, такие выражения можно переписать в виде произведения, заменив деление умножением на обратное число. Дальше каждое отрицательное число можно представить в виде произведения −1 и соответствующего положительного числа, то есть, каждое отрицательное число (−a) можно заменить на (−1)·a . Переместительное свойство умножения позволяет менять множители местами, что дает возможность все множители, равные −1 , перенести в начало выражения. Наконец, произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно −1 , что объясняет постановку знака минус.

Это же правило позволяет раскрывать скобки в выражениях, представляющих собой произведения и частные выражений со знаком минус, не являющихся суммами и разностями. К примеру, выражение можно привести к выражению без скобок вида .

Еще примеры: выражение 3+(−4+7) после раскрытия скобок примет вид 3−4+7 , а раскрытие скобок в выражении 3+(4+7) приведет нас к выражению 3+4+7 , здесь перед слагаемым 4 мы поставили знак плюс, так как оно является первым слагаемым в скобках и записано в них без знака.

Для закрепления материала покажем еще один пример раскрытия скобок: .

Переходим к раскрытию скобок, перед которыми стоит знак минус, и которые не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Дадим соответствующее правило.

Выше мы уже сталкивались с выражениями вида −(a) и −(−a) , которые без скобок записываются как −a и a соответственно. Например, −(3)=3 , , и . Это частные случаи озвученного правила.

Теперь рассмотрим примеры раскрытия скобок, когда в них заключены суммы или разности. Например, выражение −(−9+5) после раскрытия скобок примет вид 9−5 , здесь мы опустили скобки со знаком минус перед ним, заменив знаки слагаемых на противоположные. Еще пример: 5+2,2−(6−2/3−4,1+11)+2= 5+2,2−6+2/3+4,1−11+2 .

В двух предыдущих пунктах мы говорили о раскрытии скобок, которые не умножаются на какое-либо число или выражение. Сейчас мы как раз перейдем к раскрытию скобок в выражениях, в которых выражение в скобках умножается на число или выражение.

Так мы от произведения двух скобок пришли к сумме произведений каждого слагаемого из первой скобки на каждое слагаемое из второй скобки. По индукции это утверждение можно распространить на произвольное количество слагаемых в каждой скобке.

Теперь можно дать формулировку правила умножения скобки на скобку. Оно звучит так: чтобы умножить одну сумму на другую, надо каждое слагаемое первой суммы умножить на каждое слагаемое второй суммы и сложить полученные произведения. Запишем соответствующую формулу:


Для примера раскроем скобки в выражении (1+x)·(x 2 +x+6) , представляющим собой произведение двух сумм. Для этого записываем сумму произведений первого слагаемого 1 из первой скобки на каждое слагаемое x 2 , x и 6 из второй скобки, а также второго слагаемого x из первой скобки на каждое слагаемое x 2 , x и 6 из второй скобки, получаем (1+x)·(x 2 +x+6)= (1·x 2 +1·x+1·6+x·x 2 +x·x+x·6)= 1·x 2 +1·x+1·6+x·x 2 +x·x+x·6 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

Раскрытие скобок в выражениях, которые представляют собой произведение трех и большего количества выражений в скобках, проводится последовательно. Сначала берутся два первых множителя, заключаются еще в одни скобки, и внутри этих скобок проводится раскрытие скобок по одному из уже известных правил. И этот процесс продолжается.

Понятно, что вместо чисел могут быть и переменные, и другие выражения.

Для примера преобразуем выражение (a+b+c) 2 . Сначала запишем его в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c) , теперь выполним умножение скобки на скобку, получаем a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c .

Деление скобки на число и скобки на скобку

В этом пункте мы покажем, как стоит раскрывать скобки в выражениях, в которых имеет место деление скобки на число или выражение.

Покажем еще пример, рассмотрев выражение, в котором содержится деление на скобку, вида . Заменяем деление умножением: . И осталось лишь выполнить умножение: .

И прежде чем перейти к следующему разделу информации стоит сказать, что все перечисленные правила раскрытия скобок следуют из правил выполнения действий с числами, а также правил использования скобок в математике.

В таких выражениях порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:

• дальше раскрываются скобки в произведениях и частных,

Осталось разобраться с порядком раскрытия скобок на примерах.

Как Вы заметили, мы исходное выражение разбили на составные части, в каждой части провели раскрытие скобок по разобранным правилам, после чего собрали полученные результаты воедино, и пришли к требуемому результату.

www.cleverstudents.ru

Навигация по странице.

Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными бывают составлены с использованием скобок, которые могут указывать порядок выполнения действий, содержать отрицательное число и т.п. Бывает удобно перейти от этого выражения со скобками к тождественно равному выражению, которое уже не содержит этих скобок. К примеру, от выражения 2·(3+4) можно перейти к выражению без скобок вида 2·3+2·4 . Этот переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок дает представление о раскрытии скобок.

• произведение числа, одной или нескольких букв и суммы и/или разности в скобках, например, 3·(2−7) , (3−a+8·c)·(−b) или −2·a·(b+2·c−3·m) .

Можно пойти еще дальше. Допустим, что в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Для иллюстрации возьмем выражение , ему соответствует выражение без скобок вида .

И обратим внимание еще на один момент, касающийся особенностей записи решения при раскрытии скобок. Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства. Например, выражение 3−(5−7) после раскрытия скобок принимает вид 3−5+7 , это наглядно отражает равенство 3−(5−7)=3−5+7 . При раскрытии скобок в громоздких выражениях возникает необходимость в записи промежуточных результатов, в этом случае решение удобно оформлять в виде цепочки равенств, к примеру, 5−(3−(2−1))=5−(3−2+1)=5−3+2−1 или 5−(3−(2−1))=5−3+(2−1)=5−3+2−1 .

В предыдущем пункте мы разобрались с тем, что называют раскрытием скобок. Пришло время поговорить о том, как оно выполняется. Для этого существуют правила раскрытия скобок, к обзору которых мы и приступаем.

У одиночных чисел в скобках

Сначала сформулируем правило раскрытия скобок, в которые заключены одиночные положительные числа: пусть a – положительное число, тогда (a) заменяется на a , +(a) заменяется на +a и −(a) заменяется на −a .

Это правило продиктовано тем, что положительные числа принято записывать без скобок, скобки в этом случае излишни.

Можно переходить к правилу раскрытия скобок, в которых содержатся одиночные отрицательные числа: +(−a) заменяется на −a , а −(−a) заменяется на +a , если же выражение начинается с отрицательного числа (−a) , записанного в скобках, то скобки, содержащие это число, просто опускаются, и вместо (−a) остается −a .

Теперь поясним, на чем базируется приведенное правило раскрытия скобок.

Можно столкнуться с выражениями, составленными из числа, знаков минус и нескольких пар скобок. Приведенные выше правила позволяют избавиться от скобок в них. При этом удобно раскрытие скобок проводить, последовательно продвигаясь либо от внутренних скобок к внешним, либо наоборот – от внешних к внутренним. Для примера раскроем скобки в выражении − ( − ( ( −(5) ) ) ) , для наглядности пары скобок мы изобразили разными цветами. Если раскрывать скобки, продвигаясь от внутренних к внешним, то решение будет таким: − ( − ( ( −(5) ) ) ) =− ( − ( ( −5 ) ) ) =− ( − ( −5 ) ) =− ( 5 ) =−5 . Если двигаться в обратном направлении, то соответствующая цепочка равенств будет иметь вид − ( − ( ( −(5) ) ) ) = ( ( −(5) ) ) = ( −(5) ) =−(5)=−5 .

Озвученные в этом пункте правила, можно использовать и в том случае, если под a и b понимать не только числа, а произвольные числовые или буквенные выражения, со знаком плюс впереди, которые не являются суммами или разностями (тогда −a и −b будут аналогичными выражениями, но со знаком минус впереди). Например, выражение −(−2·x)−(x 2 )+(−1/x)−(2·x·y 2 :z) после раскрытия скобок примет вид 2·x−x 2 −1/x−2·x·y 2 :z . Вот тому пояснение: −(−2·x) есть +2·x , а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x , −(x 2 )=−x 2 , +(−1/x)=−1/x и −(2·x·y 2 :z)=−2·x·y 2 :z .

Пусть a и b – положительные числа. Тогда произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) заменяется на (a·b) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменяются на (−a·b) .

Первая часть записанного правила раскрытия скобок напрямую следует из правила умножения отрицательных чисел. Вторая его часть является следствием правила умножения чисел с разными знаками.

Начнем с примеров раскрытия скобок в произведениях и частных двух отрицательных чисел. Произведение двух отрицательных чисел −2 и вида можно заменить на , а окончательно раскрыть скобки можно на базе информации предыдущего пункта этой статьи, в итоге имеем . Аналогично, частное отрицательных чисел вида (−4):(−2) без скобок запишется как 4:2 .

Вместо отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, не являющиеся суммами или разностями, например, произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Для примера, раскроем скобки в выражении . Согласно записанному выше правилу, получаем .

Аналогичное правило применяется при умножении и делении выражений, имеющих разные знаки. Например, и .

Если количество отрицательных чисел четно, то можно опустить скобки, заменив эти числа противоположными, после чего заключить полученное выражение в новые скобки; если же количество отрицательных чисел нечетно, то нужно опустить скобки, заменить эти числа на противоположные, поставить минус перед полученным выражением и заключить его в скобки.

Например, произведение трех чисел 5·(−3)·(−2) содержит два отрицательных числа, так как 2 – четное число, то по озвученному правилу исходное выражение можно записать как (5·3·2) , а после окончательного раскрытия скобок оно примет вид 5·3·2 . А выражение (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1) содержит пять отрицательных чисел, 5 – нечетное число, поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)= (−2,5·3:2·4:1,25:1) , и после окончательного раскрытия скобок оно будет иметь вид −2,5·3:2·4:1,25:1 .

Приведенное выше правило учитывает всю цепочку этих действий и значительно ускоряет процесс раскрытия скобок. Если бы мы его не использовали, то раскрытие скобок в выражении выглядело бы так:


Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак +

В этом пункте мы запишем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, и эти скобки не умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. О раскрытии скобок, которые умножаются на число или выражение мы поговорим в одном из следующих пунктов.

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс или не стоит никакого знака, таково: скобки вместе с этим знаком опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. При этом если первое слагаемое в скобках записано без знака, то перед ним нужно поставить знак плюс.

Рассмотрим примеры применения этого правила.

Возьмем выражение (12−3,5)−7 . Здесь скобки опускаются, знаки слагаемых в скобках сохраняются, а перед первым слагаемым ставится плюс, получаем (12−3,5)−7=+12−3,5−7 . Здесь знак плюс перед первым слагаемым можно было не ставить, так как +12−3,5−7=12−3,5−7 . Абсолютно аналогично скобки раскрываются в выражении , имеем .

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак −

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Это же правило применяется при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, и которые содержат выражения с переменными. Для примера раскроем скобки в выражении с переменными вида , имеем .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Покажем примеры использования этого правила. Раскроем скобки в выражении (3−7)·2 . По записанному правилу получаем (3−7)·2=(3·2−7·2) , последние выражение по правилу раскрытия скобок, перед которыми не стоит никакого знака, принимает вид 3·2−7·2 . Еще пример: возьмем выражение , после раскрытия скобок получаем .

Умножение скобки на скобку

Используя правило из предыдущего пункта, можно получить правило раскрытия скобок при умножении скобки на скобку. Чтобы оно легко воспринялось, рассмотрим произведение двух скобок вида (a₁+a₂)·(b₁+b₂) .

Стоит отдельно заметить, что если в скобках наряду со знаками плюс присутствуют знаки минус, то выражения в скобках перед использованием записанного выше правила нужно представить в виде сумм. Покажем это на примере.

Раскроем скобки в выражении (1−x)·(3·x·y−2·x·y 3 ) . Перед использованием правила нужно выражения в скобках представить в виде сумм как (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y 3 )) . Теперь умножаем скобку на скобку: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y 3 ))= (1·3·x·y+1·(−2·x·y 3 )+ (−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y 3 )) . Осталось раскрыть скобки в полученном выражении, используя правила из предыдущих пунктов, в итоге получаем 1·3·x·y−1·2·x·y 3 −x·3·x·y+x·2·x·y 3 .

Лучше разобраться с этим на примере. Раскроем скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8) . Это выражение представляет собой произведение трех множителей (2+4) , 3 и (5+7·8) . Раскрывать скобки придется последовательно. Для этого заключаем первые два множителя еще в одни скобки, для наглядности изобразим их другим цветом: (2+4)·3·(5+7·8)= ( (2+4)·3 ) ·(5+7·8) . Теперь используем правило умножения скобки на число, имеем ( (2+4)·3 ) ·(5+7·8)= ( 2·3+4·3 ) ·(5+7·8) . Осталось выполнить умножение скобки на скобку: ( 2·3+4·3 ) ·(5+7·8)= 2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Стоит отметить, что подобные преобразования более уместно называть возведением выражения в степень, нежели раскрытием скобок.

Вот еще пример возведения выражения в скобках в третью степень:


Также скажем, что для возведения сумм и разностей двух чисел в натуральную степень целесообразно применять формулу бинома Ньютона.

При делении скобки на число можно раскрыть скобки, разделив на это число каждое из заключенных в скобки слагаемых.

К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2 . Вот еще пример раскрытия скобок при делении выражения на число: .

Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении. Это правило позволяет раскрывать скобки и при делении скобки на скобку.

Приведем примеры. Раскроем скобки в выражении . Заменим сначала деление умножением на обратное число, имеем . Осталось выполнить умножение скобки на число, получаем .

Порядок раскрытия скобок

Вот мы и добрались до раздела, который объясняет, как с помощью всей представленной выше информации выполняется раскрытие скобок в выражениях общего вида, то есть, в выражениях, содержащих и суммы с разностями, и произведения с частными, и скобки в натуральной степени.

• сначала выполняется возведение скобок в натуральную степень,
• наконец, когда скобок в произведениях не остается, раскрываются скобки в суммах и разностях.

Возьмем выражение (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) . Раскрытие скобок нужно начинать с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7) , после применения соответствующих правил раскрытия скобок, они примут вид (3·2:4) и (−6·7) . Подставляем эти результаты в исходное выражение: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)= (−5)+(3·2:4)−(−6·7) . Остается лишь закончить раскрытие скобок, в результате имеем −5+3·2:4+6·7 .

Раскрытие скобок в выражениях, содержащих скобки в скобках, удобно проводить, продвигаясь от внутренних скобок к внешним.

В заключение статьи заметим, что раскрытие скобок в основном применяется при упрощении выражений, и в сложных выражениях раскрытие скобок проводится вместе с другими преобразованиями до получения нужного результата.