Механика пособие

Оглавление:

Лекции и примеры решения задач механики

Учебники по теоретической механике

Здесь можно бесплатно скачать литературу (учебники и пособия) по теормеху.

Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. 1983 г.

Учебник написан на основе опыта преподавания курса теоретической механики в МВТУ им. Н. Э. Баумана.

В четвертом издании значительно перестроено изложение разделов «Статика» (введены элементы дедуктивного изложении материала при рассмотрении вопросов приведения и равновесия системы сил), «Кинематика» (в отдельный napaгpaф выделена кинематика сложного движения точки при переносном поступательном движении) и часть «Динамики».

Предназначен для студентов машиностроительных специальностей вузов.

Дронг В.И. и др. Курс теоретической механики. Под ред. Колесникова К.С. Том 1. 2005 г.

Изложены кинематика, статика, динамика точки, твердого тела и механической системы; аналитическая механика; теория колебаний; теория удара; введение в динамику тел переменной массы; основы небесной механики. Приведены примеры решения задач.

Содержание учебника соответствует программе и курсу лекций, которые авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Для студентов машиностроительных вузов и технических университетов.

Может быть полезен аспирантам и преподавателям, а также специалистам в области статики и динамики механических систем.

Маркеев А.П. Теоретическая механика. 1999 г.

Пособие является строгим, целостным и компактным изложением всех базовых задач и методов теоретической механики. Книга сильно отличается от существующих на данный момент учебных пособий по теоретической механике, как по поиску материала, так и по способу его изложения. Всё внимание нацелено на рассмотрение самых содержательных и ценных для теории и приложений разделов динамики и методов аналитической механики; статика изучается как раздел динамики, а в разделе кинематики детально описываются общие основания кинематики системы; некоторые методические идеи являются новыми в учебной литературе.

Пособие предназначено для учащихся механико-математических факультетов университетов, а также для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Механика» и «Прикладная математика», преподавателей механики, аспирантов.

Суслов Г.К. Теоретическая механика. 1946 г.

Книга содержит следующие разделы: теорию векторов, кинематику, динамику частицы, динамику системы частиц и статику, а также, интегрирование уравнений динамики, динамику твёрдого тела и теорию удара.

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. 1986 г.

В книге изложены основы механики материальной точки, системы материальных точек и твердого тела в объеме, соответствующем программам технических вузов.

Приведено много примеров и задач, решения которых сопровождаются соответствующими методическими указаниями. Для студентов очных и заочных технических вузов.

Терлецкий Я.П. Теоретическая механика. 1987 г.

В книге содержится весь рекомендуемый материал по теоретической механике для физических факультетов со сравнительно небольшими дополнениями.

В отличие от некоторых известных курсов в основу изложения положено не постулирование принципа наименьшего действия, а уравнения Ньютона для системы материальных точек как известное обобщение опытных фактов. При этом уравнения Лагранжа получаются в результате перехода к произвольным обобщенным координатам, а принцип Гамильтона — как возможный математический аппарат, приводящий к уравнениям Лагранжа. Такой подход представляется наименее формальным и более удобным в педагогическом плане.

Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Части 1 и 2. 1966 г.

Учебник составлен в полном соответствии с программой курса теоретической механики для высших технических учебных заведений и содержит материал, который является основной частью рабочих программ этого курса всех специальностей.

Учебник рассчитан на студентов очной и заочной систем обучения.

Наряду с изложением теоретического материала в учебнике имеется подробное решение задач основных типов и даны вопросы для самоконтроля.

Первая часть учебника содержит курс статики и кинематики.

isopromat.ru

Валентин Молотников: Техническая механика. Учебное пособие

Аннотация к книге «Техническая механика. Учебное пособие»

В учебном пособии кратко изложен курс технической механики, рассчитанный на один-два семестра обучения при подготовке бакалавров по направлению «Агроинженерия». Пособие включает в себя основные разделы дисциплин «Теоретическая механика», «Теория механизмов и машин», «Сопротивление материалов», «Детали машин и основы конструирования», «Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения» и может быть использовано также студентами других технических и технологических направлений при освоении каждой из перечисленных дисциплин. Краткость изложения делает пособие ценным подспорьем при ограниченных сроках на подготовку как в семестре, так и в период сессии.
Помимо краткости, пособие отличается от имеющихся учебных изданий сжатым очерком современного состояния механики в новой России, демонстрацией инженерных приложений компьютерных пакетов (MathCad, CosmosWorks, Inkscape, AutoCad, LaTeX и др.), обновленными данными по машиностроительным материалам — от композитов до перспектив.

www.labirint.ru

Учебное пособие Комплект учебных пособий по тематике «Машиностроение. Техническая и теоретическая механика. Теория машин и механизмов» Опарин И.С. Основы технической механики. Рабочая тетрадь, 2016; Батиенков В.Т., Волосухин В.А., Евтушенко С.И., Лепихова В.А. Техническая механика. Учебное пособие для вузов, 2017; Олофинская В.П. Детали машин. Краткий курс, практические занятия и тестовые задания. Учебное пособие, 2016; Ряховский О.А. — ред. Атлас конструкций узлов и деталей машин. Учебное пособие, 2009; Куранов А.Д., Зайцев С.А., Толстов А.Н. Допуски и посадки. Учебное пособие, 2009; Багдасарова Т.А. Допуски, посадки и технические измерения. Рабочая тетрадь. Учебное пособие для НПО, 2007; Иванов Ю.Б. Атлас чертежей общих видов для деталирования. Часть 1. Технологические приспособления для обработки деталей машин и приборов, 2007; Иванов Ю.Б. Атлас чертежей общих видов для деталирования. Часть 3. Контрольно-измерительные приспособления и приводы, 2007; Иванов Ю.Б. Атлас чертежей общих видов для деталирования. Часть 4. Механизмы автомобилей и тракторов, 2007; Флеглер Д.Е. Эскизирование деталей машин, 2015; Маханько А.М. Контроль станочных и слесарных работ. Учебник, 2000; Фещенко В.Н. Слесарное дело. Книга 1. Слесарные работы при изготовлении и ремонте машин, 2013; Фещенко В.Н. Слесарное дело. Книга 2. Механическая обработка деталей на станках, 2013; Фещенко В.Н. Слесарное дело. Книга 3. Сборка производственных машин, 2013; Фещенко В.Н., Махмутов Р.Х. Токарная обработка, 2016 2016 — все по 1 экз.; Покровский Б.С. Основы слесарных и сборочных работ. Учебник, 2014 — 10 экз.; Покровский Б.С. Справочное пособие слесаря. Учебное пособие, 2011 — 10 экз.

Заказ доступен только для юридических лиц в рамках проведения малых закупок организаций.

Механика пособие

При подготовке инженеров – строителей любого профиля знания по курсу «Механика» является профилирующими, базовыми и служат показателем инженерной грамотности. Имеющиеся учебники и учебные пособия в основном рассчитаны на полноценные курсы по «Теоретической механике» и «Сопротивлению материалов». В инженерных вузах России данная дисциплина включает в себя раздел «Статика» из курса «Теоретической механики» и некоторые разделы из курса «Техническая механика». В современных российских вузах, готовящих специалистов – строителей эта дисциплина является обязательной в федеральном учебном плане.

Настоящее учебное пособие подготовлено для обучения бакалавров-строителей очной и заочной форм обучения. Включает в себя основные теоретические понятия, определения, аксиомы и теоремы, подробное описание решений типовых задач из рассматриваемых разделов этих дисциплин и методические указания для каждой темы, позволяющие находить правильное решение в предложенных для самостоятельной проработки задачах. Авторы не претендуют на полноту изложения материала. Здесь даны лишь самые необходимые сведения, без которых невозможно понимание инженерных задач, которые будут возникать перед молодым специалистом на производстве, и качественное усвоение этих основ позволит им правильно решать их.

Данное издание рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому и техническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки: 270800 – «Строительство» (Бакалавриат). Пособие состоит из следующих глав:

1. Основные понятия и определения статики;

2. Методические указания, примеры решения и задания по статике;

3. Геометрические характеристики плоских сечений;

4. Основные понятия и определения по курсу сопротивления материалов;

5. Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении-сжатии;

6. Расчет балки на прочность и жесткость;

7. Сложное сопротивление;

8. Устойчивость сжатых стержней;

9. Динамическое действие нагрузки.

Включает в себя два основных блока:

1) раздел «Статика» из курса «Теоретическая механика»;

2) основы курса «Техническая механика».

В каждом из них есть теоретическая часть, содержащая описание основных понятий, определений, аксиом и теорем, входящих по ГОС ВПО для данных специальностей, практикум с методическими рекомендациями и задания для самостоятельного решения.

К первому разделу относятся две главы. В первой даны определения: понятие силы; равнодействующей сил; разложение силы на составляющие и проекция силы на ось; момента силы относительно точки; пары сил; распределенных сил. Описаны некоторые типы связей и их реакции; уравнения равновесия; центр тяжести тела или системы тел. Во второй – практикум и задания для самостоятельного решения. К данному разделу относятся пять типовых заданий.

Остальные главы теории и задания № 6–14 посвящены важным темам курса «Техническая механика». Среди которых геометрические характеристики плоских сечений; основные понятия и определения по курсу технической механики. А также расчет балки на прочность и жесткость; сложное сопротивление; устойчивость сжатых стержней; ударное действие нагрузок, динамический расчет. В практикуме представлены подробные решения основных типовых задач, возникающих при строительстве любых сооружений.

Для лучшего усвоения и закрепления материала студентами по всем рассматриваемым в пособии темам приведены по 26 вариантов индивидуальных заданий для самостоятельного решения. Некоторые задачи переходят из одной темы в другую, являются сквозными заданиями. Такой подход позволяет с одной стороны сократить время на решение задач, а с другой – показать взаимосвязь между дисциплинами и разделами «Теоретической механики» и «Технической механики». Для каждого задания есть методические указания, которые позволяют либо упростить решение, либо акцентируют внимание студентов на сложных моментах в решении типовых задач. При использовании приведенных в учебном пособии заданий у студентов вырабатывается устойчивый навык в решении инженерных задач строительного профиля.

В Приложениях приведены выдержки из сортамента и другие необходимые справочные материалы, что позволит студенту воспользоваться ими при проведении практических расчетов по всем разделам дисциплины. Самый необходимый справочный материал представлен в виде таблиц так, что студенты могут проводить практические расчеты без привлечения дополнительных источников. В каждом разделе имеются ссылки для получения справок.

Целью данного курса является усвоение основ механики студентами, специальность которых в дальнейшем не требует от них твердых и устойчивых знаний по теоретической механике и технической механике. Но, учитывая специфику их будущей деятельности, овладение базовыми знаниями данного курса необходимо для всех инженеров. Оно позволит молодым специалистам легче адаптироваться на производстве после окончания высшего учебного заведения.

В ТюмГАСУ пособие уже четыре года входит в список основной литературы при изучении дисциплины «Механика» как в печатном, так и электронном виде. В электронном виде оно оформлено как учебно-методический комплекс (ЭУМК), дополнительно включающий в себя раздел «Тестирование», что позволяет проводить итоговую проверку знаний студентов. Поэтому с помощью данного ЭУМК «Механика» студенты могут не только получить самые необходимые сведения по данным дисциплинам, научиться решать типовые инженерно-строительные задачи, но и самостоятельно себя протестировать. Подробный отчет по тестам помогает выявлять разделы, которые не усвоены студентом в полном объеме, и которые необходимо изучить повторно. Минимальные системные требования для использования электронного варианта пособия: Windows 98/Mc/XP, ОЗУ 128 Mb, SVGA(1024×768), SB, CD-ROM 32x. Пособие пользуется повышенным спросом у студентов очной и заочной форм обучения любых специальностей при изучении ими курсов «Механика», «Теоретическая механика» (раздел «Статика») и «Техническая механика».

Предложенное учебное пособие может быть использовано студентами-бакалаврами любых специальностей при изучении дисциплины общеобразовательного цикла «Техническая механика» и в качестве дополнительной литературы студентами специалитета при изучении перечисленных выше дисциплин в вузах строительного профиля. Оно также полезно для молодых преподавателей и аспирантов при подготовке к практическим занятиям, т.к. ограничений разработка не имеет.

abstract.science-review.ru

МЕХАНИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (РАЗДЕЛ «СТАТИКА») И ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. Кафедра строительной механики

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра строительной механики Лободенко ЕИ, Кутрунова ЗС Шагисултанова ЮН, Куриленко ЕЮ, Белова ОЮ МЕХАНИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (РАЗДЕЛ «СТАТИКА») И ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Для студентов направления «Строительство» (бакалавриат) «Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому и техническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки: «Строительство» (Бакалавриат)» Тюмень, 01

2 УДК 51 : 601 М 55 Лободенко ЕИ, Кутрунова ЗС, Шагисултанова ЮН, Куриленко ЕЮ, Белова ОЮ Механика: учебное пособие по теоретической механике (раздел «Статика») и технической механике для студентов, обучающихся по направлению «Строительство» / под ред ЕИ Лободенко Тюмень: РИО ФГБОУ ВПО «ТюмГАСУ», 01 9 с Учебное пособие составлено в соответствии с государственными образовательными стандартами и рабочей программой направления подготовки «Строительство» очной и заочной форм обучения Пособие рассчитано на приобретение минимального объема теоретических знаний по дисциплинам «Теоретическая механика» раздел: «Статика» и «Техническая механика» Оно может быть использовано в качестве руководства при выполнении домашних контрольных заданий для студентов указанного направления подготовки Рецензенты: д-р физ-мат наук, проф Тюм ГУ Кутрунов ВН канд физ-мат наук, доц Нарута ТА Тираж 500 экз Заказ 17 ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно — строительный университет» Лободенко ЕИ, Кутрунова ЗС, Шагисултанова ЮН, Куриленко ЕЮ, Белова ОЮ Редакционно-издательский отдел ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет»

3 Содержание: Предисловие 7 1 Основные понятия и определения статики 8 11 Понятие силы 8 1 Равнодействующая сил, разложение силы и проекция силы на ось 8 1 Момент силы относительно точки 10 1 Пара сил 1 15 Распределенные силы 1 16 Некоторые типы связей и их реакции Гладкая поверхность или опора 1 16 Нерастяжимая нить 1 16 Невесомый стержень Шарнирно-подвижная опора Цилиндрический шарнир или шарнирно-неподвижная опора Скользящая заделка Жесткая заделка Уравнения равновесия Центр тяжести тела или системы тел Способы определения координат центров тяжести простейших плоских тел 19 Методические указания, примеры решения и задания по статике 1 1 Последовательность решения задач по статике 1 Примеры решения задания 1 Определение усилий в стержнях механической системы, находящейся в равновесии 1 Методические указания к заданию 1 5 Варианты задания План решения задач по определению опорных реакций (задания а, б, в;, ) 0 6 Примеры решения задания Нахождение опорных реакций простых и составных балок при действии заданных сил

4 61 задание а 6 задание б 6 задание в 6 7 Методические указания к заданию 8 Варианты задания 9 Примеры решения задания Определение реакций опор стержневых конструкций Методические указания к заданию Варианты задания 61 1 Пример решения задания Нахождение опорных реакций составной конструкции 65 1 Методические указания к заданию 68 1 Варианты задания Примеры решения задания 5 Определение центра тяжести тела или системы тел 7 16 Методические указания к заданию Варианты задания 5 77 Геометрические характеристики плоских сечений 85 1 Основные сведения из теории 85 Моменты инерции относительно параллельных осей 87 Главные оси и главные моменты инерции сечения 87 Примеры решения задания 6 Геометрические характеристики плоских сечений 89 5 Методические указания к заданию Варианты задания 6 9 Основные понятия и определения по курсу сопротивления материалов 95 1 Объекты изучения сопротивления материалов 95 Нагрузки 95 Опорные реакции Внутренние усилия 97 Определение внутренних усилий 98 5 Эпюры внутренних усилий 10 6 Дифференциальные зависимости между внутренними

5 нагрузками и внутренними усилиями 10 7 Виды деформаций стержня Метод характерных сечений Примеры построения эпюр внутренних усилий Методические указания к заданию 7 Построение эпюр внутренних усилий 1 11 Варианты задания Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении-сжатии 1 51 Понятие о напряжениях 1 5 Условие прочности при центральном растяжении-сжатии 1 5 Условие жесткости при центральном растяжении-сжатии 17 5 Пример решения задания 8 Расчеты на прочность и жесткость при центральном растяжении-сжатии Методические указания к заданию Варианты задания Расчет балки на прочность и жесткость Напряжения в поперечных сечениях 15 6 Расчет балки на прочность 17 6 Примеры решения задания 9 Определение размеров 19 поперечного сечения из условия прочности 6 Методические указания к заданию Варианты задания Перемещения балки при изгибе Расчет на жесткость 1 67 Примеры решения задания 10 Расчеты на жесткость при изгибе Методические указания к заданию Варианты задания Сложное сопротивление Косой изгиб Определение напряжений при косом изгибе Нейтральная линия и силовая плоскость при косом изгибе Наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе 160 5

6 75 Пример решения задания 11 Расчет на прочность при косом изгибе Методические указания к заданию Варианты задания Расчет на прочность при внецентренном действии продольных сил Нейтральная линия при внецентренном действии продольных сил Ядро сечения Примеры решения задания 1 Расчеты на прочность и жесткость при внецентренном действии продольных сил Методические указания к заданию Варианты задания Устойчивость сжатых стержней Понятие об устойчивости 18 8 Задача Эйлера Определение критической силы с помощью формулы Ясинского Практический расчет сжатых стержней на устойчивость Пример решения задания 1 Расчет на устойчивость сжатых стержней Методические указания к заданию Варианты задания Динамическое действие нагрузки Ударное действие нагрузок Динамический расчет Пример решения задания 1 Ударное действие нагрузок Динамический расчет 0 9 Методические указания к заданию Варианты задания 1 05 Библиографический список 09 Приложения 11 6

7 Предисловие Учебное пособие «Механика» включает в себя лишь некоторые разделы теоретической механики и сопротивления материалов, в соответствии с рабочей программой бакалавров направления «Строительство» В настоящем сборнике представлено 1 заданий по самым важным разделам, чтобы наглядно показать взаимосвязь данных дисциплин На выполнение каждого задания студенту дается неделя Столь жесткий график выполнения домашних работ необходим для того, чтобы студенты получили качественные практические навыки Кроме того, при решении домашних заданий студенты постепенно овладевают достаточно обширным теоретическим материалом курса Задания довольно простые и не требуют больших временных затрат, но при этом позволяют запомнить методику и выработать устойчивый навык их решения Авторы не претендуют на полноту изложения материала, перед каждым заданием есть необходимый теоретический минимум и примеры решения типовых задач Приложения содержат некоторые данные из сортамента и другие справочные материалы, достаточные для выполнения заданий Сборник был подготовлен под общей редакцией ЕИ Лободенко Первые два раздела написаны ЕИ Лободенко и ЮН Шагисултановой Разделы, 7, 8 ЗС Кутруновой, разделы и 6 ЕЮ Куриленко, раздел 5 ЕИ Лободенко и ЗС Кутруновой, раздел 9 ОЮ Беловой 7

8 1 Основные понятия и определения статики 11 Понятие силы Сила это мера механического взаимодействия материальных тел Действие её на тело определяется: 1 модулем (числовым значением); направлением; точкой приложения Силу, как векторную величину, будем обозначать буквой с чертой над ней (например F ), а модуль силы F кн (ньютон или килоньютон) Размерность силы [ Н ] или [ ] Внешние силы, или нагрузки по способу приложения их к элементам конструкции делятся на объемные (например, сила тяжести) и поверхностные, те приложенные к поверхности тела на некоторой его площади или длине Поверхностные силы в свою очередь делятся на сосредоточенные и распределенные Нагрузка называется сосредоточенной, если она приложена к элементу конструкции в одной точке, те как бы «сосредоточена» в ней В действительности передачу нагрузки через одну точку осуществить нельзя, но если площадка, по которой передается нагрузка, мала, то можно ввести модель «сосредоточенная сила» Например, конец балки передает нагрузку на стену по некоторой площадке, размеры которой по сравнению с площадью стены незначительны Линией действия силы называется прямая, вдоль которой направлена сила Системой сил будем называть совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело (или тела) 1 Равнодействующая сил, разложение силы и проекция силы на ось Если действие системы сил можно заменить одной силой, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил Равнодействующая R сходящихся сил это вектор, равный геометрической сумме сил системы и приложенный в точке пересе- 9

9 Рис 11 Рис 1 чения их линий действия (см рис 11) Разложить силу на несколько составляющих значит, найти такую систему сил, для которой данная сила является равнодействующей Эта задача имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий: 10 например, мы хотим разложить силу F по двум заданным направлениям осям координат Х и Y, тогда F X и F Y составляющие силы F (рис 1) Проекция силы F на координатную ось является алгебраической величиной, которая может быть определена как расстояние между проекциями конца В и начала А этой силы на соответствующую ось: F x = a b = F cos α, ( 90 α) = F α F y = a b = F cos sin Таким образом, проекция силы F на ось определяется произведением модуля силы на косинус угла, образованного линией действия силы и положительным направлением этой оси (рис 1) При нахождении проекции силы на ось можно пользоваться следующим приемом: вычислять модуль проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы и соответствующей осью, а знак проекции определять в зависимости от

10 ситуации Для сил, изображенных на рис 1, а, проекции положительны: Рис1, а F1 x = F1 cos α1; F x = F cos α ; F x = F cos 0 = F, а на рис 1, б отрицательны: F x α ; = F cos β = F cos Рис1, б F x α ; 5 = F5 cos β5 = F5 cos F x F6 5 6 = cos 180 = F6 1 Момент силы относительно точки Для характеристики вращательного действия силы относительно неподвижной точки вводят понятие момента силы Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, или моментной точкой, а момент силы относительно этой точки моментом относительно центра (рис 1) Длину перпендикуляра h, опущенного из моментной точки на линию действия силы, называют плечом силы F относительно центра О Алгебраическим моментом силы F относительно центра О 11

11 Рис 1 называется произведение модуля силы на плечо, взятое со знаком плюс или минус F = ± F M O ( ) h Размерность момента си- кн м лы [ м] Н или [ ] Если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, то момент си- лы берется со знаком «+», если же по ходу часовой стрелки, то со знаком Так, для сил, изображенных на рис 1, моменты F = + F, M O равны: ( ) 1 1 M O ( F ) F h а момент силы 1 h =, F равен нулю ( F ) = 0 M O силы проходит через моментную точку и плечо h = 0, так как линия действия В тех случаях, когда определение величины плеча h связано с трудностями вычислений, удобнее разложить силу F на составляющие F x и F y, а затем применить теорему Вариньона Она формулируется следующим образом: «Момент силы F относительно центра О равен алгебраической сумме моментов сил ее составляющих ( F x и F y ) относительно той же точки» O ( F ) M ( F ) M ( F ) M = + (11) O Изобразим схематически применение формулы (11): разложим силу F на две составляющие силы F x и F y (рис 15) Тогда момент силы F относительно точки О будет M ( F ) = F h = F a + F b или M O x ( F ) = F α a + F sin α b O O y cos (1) x y 1

12 Рис 15 Рис 16 1 Пара сил Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рис 16) Система сил F, F 1, образующих пару, не находится в равновесии, в то же время пара сил не имеет равнодействующей, так как R = F + F 0 Действие пары сводится к вращательному эффекту, потому что она стремится повернуть твердое тело, к которому приложена Кратчайшее расстояние d между линиями действия сил ( F, F 1) называется плечом пары Вращательный эффект создаваемый парой сил характеризуется её алгебраическим моментом, равным произведению модуля одной из сил пары на плечо, взятое со знаком «+» или M ( F F ) = ± F d 1 =, (1) 1 Момент пары берется со знаком плюс, если вращает против хода часовой стрелки, и со знаком минус по ходу часовой стрелки Изображают действие момента пары или ломаной стрелкой, или дуговой стрелкой (рис 17) и обозначают буквой М 1

13 Рис Распределенные силы К распределенным нагрузкам относятся силы, которые непрерывно приложены по некоторой площади или длине элемента конструкции (снег, засыпка в междуэтажных перекрытиях) Нагрузки распределены вдоль данной поверхности по тому или иному закону Далее будем рассматривать распределенные силы, лежащие в одной плоскости Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, то есть значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка Измеряется интенсив- кh м ность нагрузки в [ м] H или [ ] а) Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой Если нагрузка распределена по длине равномерно, то она называется равномерно распределенной, или погонной Интенсивность q имеет постоянное значение (рис 18, а) В случае определения опорных реакций распределенную нагрузку необходимо заменить равнодействующей силой R, приложенной в середине отрезка АВ и по модулю равной R = q l Рис 18, а Рис 18, б 1

14 б) Силы, распределенные по линейному закону вдоль отрезка прямой Если интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения q max по прямой, то нагрузка называется линейно распределенной (рис 18, б) Такую распределенную нагрузку заменяем равнодействующей силой R, приложенной на расстоянии l от стороны ВС ( q max ) треугольника АВС и по модулю равной 1 R = q max l 16 Некоторые типы связей и их реакции Тело, перемещение которого ограничено в пространстве, называется несвободным Все то, что ограничивает перемещение этого тела, есть связь Сила, с которой данная связь действует на тело, называется силой реакции (противодействия) связи, или просто реакцией связи Она направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу 161 Гладкая поверхность или опора а) б) Рис Реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел и приложена в точке их касания (рис 19) Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис 19, б), то реакция направлена по нормали к другой поверхности 16 Нерастяжимая нить Эта связь не дает телу удаляться от точки подвеса, поэтому реакция T направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис 110, а)

15 а) б) Рис Нерастяжимая нить может соединять различные части конструкции, при этом натяжение нити в каждой ее точке будет одно и то же по величине T, ведь нить нерастяжима, но различно по направлению, и всегда направлена вдоль нити В качестве примера рассмотрим конструкцию, изображенную на рис 110, б, и проанализируем каждую ее часть в отдельности Рассматривая равновесие груза F (область I), видим, что на него действуют две вертикальные силы: вес F, направленный вниз, и реакция (натяжение) нити T 1 вверх Эти силы уравновешены, поэтому они должны быть равны друг другу по модулю, те T 1 = F Если мы теперь хотим рассмотреть равновесие блока Д, то объектом равновесия становится этот блок (рис 110, б, область II) Силы трения на блоке учитывать не будем, считая поверхность блока идеально гладкой Тогда мысленно рассекая левый и правый конец нити вблизи блока Д, заменим действие отброшенных частей нити её натяжениями T и T » Эти силы равны по модулю силе F, ‘ 1 1 те T 1 = T1’ = T1 » = F, но линии их действия различны по направлению Таким образом, можно сделать вывод, что гладкий блок в конструкции не изменяет величину силы, а лишь меняет ее направление В случае, когда мы хотим в данной конструкции в качестве объекта равновесия рассмотреть узел В, то от него вдоль рассматриваемой нити навстречу T 1 » направлена сила T 1» ‘, которая по

16 принципу равенства действия и противодействия должна быть равна по модулю силе T 1 «, те T 1 »’ = T1 » = F 16 Невесомый стержень Рис 111 Невесомым стержнем называют стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь Его реакция N направлена от шарнира к шарниру (рис 111) 16 Шарнирно-подвижная опора Рис 11 Реакция такой опоры R всегда перпендикулярна плоскости опирания На расчетных схемах она изображается, как показано на рис 11 Рис Цилиндрический шарнир или шарнирнонеподвижная опора 166 Скользящая заделка Реакция R A такой опоры может иметь любое направление в плоскости, поэтому мы ее раскладываем на две составляющие X A, Y A (рис 11) Рис 11 Эта связь не позволяет телу поворачиваться и двигаться перпендикулярно оси направляющей, те у неё две реакции R A и M A (реактивный момент) (рис 11) 17

17 167 Жесткая заделка Рис 115 Данная связь не позволяет телу поворачиваться и двигаться в плоскости, те у неё три реакции M A и X A, Y A (рис 115) 17 Уравнения равновесия Если на твердое тело действует плоская система сходящихся сил (линии действия этих сил должны сходиться в одной точке), то условие равновесия можно записать в виде алгебраической суммы проекций всех сил на координатные оси X и Y : n F = 0 и F = 0 (1) k = 1 kx 18 n k = 1 Когда твердое тело находится под действием произвольной плоской системы сил для его равновесия необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на координатные оси X и Y равнялась нулю, а также и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялась нулю Три формы уравнений равновесия: первая форма вторая форма третья форма n F = 0 ; k = 1 n k = 1 kx F = 0 ; (15) n k = 1 ky ( ) = 0 M ; O F k n F = 0 ; k = 1 n k = 1 kx ( ) = 0 ky M ; (16) n k = 1 A F k ( ) = 0 M ; O F k n k = 1 ( ) = 0 M ; n k = 1 A F k ( ) = 0 M ; (17) n k = 1 B F k ( ) = 0 M O F k Для второй формы есть ограничение ось X не должна быть перпендикулярна линии ОА В третьей форме уравнений равновесия точки А, В и О не должны лежать на одной прямой

18 Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил и главный момент сил относительно произвольной точки О пространства были равны нулю: n Fk = 0 ; k = 1 n M O k k = 1 ( F ) = 0 18 Центр тяжести тела или системы тел Любое тело или систему тел можно рассматривать как состоящие из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести, направленные к центру Земли Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с размерами Земли ( R Земли 671км ), то можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны Они образуют систему параллельных сил Равнодействующую таких сил находят как их алгебраическую сумму, а прикладывают ее к точке называемой центром тяжести тела Так как центр параллельных сил не зависит от направления сил, то центр тяжести тела не меняет своего положения, как бы мы не повернули тело Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра любых параллельных сил с помощью теоремы Вариньона о моменте равнодействующей относительно любого центра (11) M O ( R ) M ( P ) = n k = 1 Если силы параллельны оси OY : тогда x C = P 1 19 O C k R x = P x + P x + K+ P 1 1 n n, Pk x k x1 + P x + K + Pn x n k = 1 = (18) P + P + + P n 1 K n P n k = 1 k x

19 0 Поворачивая систему сил на 90 О в плоскости XOY (силы становятся параллельными оси OX ), аналогичным образом находим = = = = n k k n k k k n n n C P y P P P P y P y P y P y K K (19) Если система параллельных сил пространственная, то третья координата центра параллельных сил будет = = = = n k k n k k k n n n C P z P P P P z P z P z P z K K (110) Формулы (18) (110) позволяют вычислять координаты центра тяжести тела, считая k P силами тяжести отдельных частей тела, а k k k z, y, x координатами их центров тяжести Суммы произведений сил на координаты точек их приложения, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами Центр тяжести симметричного тела лежит в плоскости симметрии Например, центр тяжести отрезка прямой линии находится в его середине, центр тяжести плоской однородной симметричной фигуры на оси симметрии В однородном теле силы тяжести отдельных его частей пропорциональны их объемам, поэтому в формулах (18) (110) можно k P заменить объемами k V соответствующих частей: V x V x n k k k C = = 1, V y V y n k k k C = = 1, V z V z n k k k C = = 1, где = = n k V k V 1 Для фигуры (рис 116), состоящей из однородных плоских пластин с площадями k A, центр масс определяется формулами A x A x n k k k C = = 1 и A y A y n k k k C = = 1, (111)

20 Рис 116 где 1 A = n A k k = 1 Суммы произведений площадей на координаты точек их приложения, стоящие в числителях этих формул, называют статическими моментами площадей: S x = n k = 1 A k y k, S A y = n k = 1 Для стержневой конструкции, составленной из балок длиной l k, центр тяжести имеет координаты: n l k = 1 xc = k l x k, n l k = 1 yc = k l y k, где l l = n k = Способы определения координат центров тяжести простейших плоских тел а) Если однородное тело имеет ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно на оси симметрии или в центре симметрии (метод симметрии) Допустим, однородное тело имеет ось симметрии (рис 117, а) Тогда оно разбивается на две части, площади которых A 1 и A равны друг другу, а центры тяжести находятся на одинаковых расстояниях от оси симметрии Следовательно, центр тяжести тела как точка будет действительно лежать на оси симметрии Если тело имеет две оси симметрии, то центр масс будет лежать на пересечении осей (рис 117, б) В случаях, когда тело имеет центр симметрии, то центр тяжести и центр симметрии совпадают (рис 117, в) б) Если тело можно разбить на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по формулам (111) Число слагаемых при этом в каждой из сумм будет равно числу частей, на которые разбито тело (метод разбиения) k k x k

21 а) б) в) Рис 117 в) Если тело имеет вырезы (отверстия), причем центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны, то можно вычислить положение центра тяжести фигуры по формулам (111), учитывая площадь выреза с отрицательным знаком (метод дополнения) Методические указания, примеры решения и задания по статике Определение реакций опор, с помощью которых крепится конструкция в целом или её элементы между собой, является основной задачей статики, тк позволяет перейти к решению задач сопротивления материалов, строительной механики, производить расчет инженерных сооружений на прочность и жесткость 1 Последовательность решения задач по статике 1 Определить объект равновесия Изобразить действующие силы, включая как заданные, так и реакции всех связей Составить условия равновесия в одном из видов (15), (16), (17) Определить искомые величины, проверить правильность решения и исследовать полученные результаты Примеры решения задания 1 Определение усилий в стержнях механической системы, находящейся в равновесии Пример 1 Стержни АВ и ВС соединены между собой шарниром В и посредством шарниров А и С прикреплены к опорам К узлу В с по-

22 мощью нерастяжимых и невесомых нитей, перекинутых через неподвижный шарнир Д, подвешены грузы веса P и F (рис 1) Определить усилия в стержнях, если P = 0кН, F = 0кН Дано: P = 0кН ; F = 0кН Определить: S A, S C Решение 1 Выделим объект равновесия, в котором сходятся все стержни и нити это шарнир В Рис 1 Рис Для определения усилий в стержнях АВ и СВ следует предварительно определить действие грузов P и F на этот шарнир Учитывая, что нити нерастяжимые, их натяжения равны весу грузов, те к узлу В приложены силы P и F, направленные от шарнира В вдоль нитей (рис ) Теперь, когда активные силы, приложенные к точке В, определены как по величине, так и направлению, найдем реакции связей В данном случае связями являются стержни АВ и СВ Их реакции S A и S C направим вдоль стержней от шарнира В, предполагая их растянутыми Таким образом, к узлу В приложена система сходящихся сил, изображенная на рис Выберем систему координат: направим ось Х по горизонтали влево, а ось У по вертикали вниз и составим уравнение равновесия F + SC + S A + P = 0 (1) Спроектируем его на выбранные коорди- натные оси: kx = 0 k = 1 F и F = 0, k = 1 ky Рис

23 F cos 0 + S C cos0 + S cos = 0; () A P + S A cos 0 + SC cos60 F cos60 = 0 () Решив полученную систему линейных уравнений, определим усилия в стержнях Из уравнения () выразим S C F cos0 S = cos0 A S A cos S = 0866 A 05 = = () и подставим данное выражение в уравнение () ( S ) S = A A Из последнего равенства определим S A = 17 1кН Полученное значение S A подставим в выражение () и вычислим ( 17 1) = кн S C = Отрицательное значение силы S C указывает на то, что стержень СВ сжат, а не растянут, как мы предположили ранее Стержень АВ растянут ( S > 0) A Рис Более рациональным решение получается в другой системе координат Например, если ось Х 1, направить вдоль силы F, а ось У 1 вдоль силы S A, так как они образуют прямой угол (рис ), то уравнение (1) в проекциях на новые оси запишется в виде: F = 0 и F = 0, k = 1 kx k = 1 F + SC cos P cos60 = 0 ; (5) 0 + SC cos0 + S A + P cos0 = 0 (6) P cos60 F Из уравнения (5) сразу же находим S C = = 0кН, cos60 ky

24 а затем, подставив его в (6), получим S = P cos0 S cos0 = ( 0 0) = 17 кн A Ответ: S A = 17 1кН, S С = 0кН C Пример Стержни АВ и ВС соединены между собой шарниром В и посредством шарниров А и С прикреплены к опорам К узлу В с помощью нерастяжимых и невесомых нитей, перекинутых через неподвижный шарнир Д, подвешен груз веса P (рис 5) Определить усилия в стержнях, если P = 10кН Дано: P = 10кН Определить: S AB, S BC Решение 1 Выделим объект равновесия, в котором сходятся все стержни и нити, это шарнир В Для определения усилий в стержнях АВ и СВ следует предварительно определить действие груза P на этот шарнир Учитывая, что Рис 5 Рис 6 нить нерастяжима, натяжения равны весу груза, то есть к узлу В приложены силы P 1 и P, направленные от шарнира В вдоль нитей, при этом P 1 = P = P Теперь, когда активные силы, приложенные к точке В, определены и по величине, и по направлению, найдем реакции связей В данном случае связями являются стержни АВ и СВ Их реакции 5 S AB и S BC направим вдоль стержней от шарнира В, предполагая их растянутыми То есть к узлу В приложена система сходящихся сил, изображенная на рис 6 Выберем систему координат: направим ось У по стержню ВС вправо, а ось Х перпендикулярно ей и составим уравнение равновесия

25 P + SBC + S AB + P 0 (7) 1 = Спроектируем его на выбранные координатные оси: k = 1 F = 0 и F = 0, kx k = 1 ky P 1 cos0 P cos15 + S cos15 = 0 ; (8) SBC + S AB cos75 + P1 cos 60 P cos 75 = 0 (9) Решив полученную систему линейных уравнений, определим AВ усилия в стержнях Из уравнения (8) найдем P cos15 P1 cos S BA = = = 1 0кН cos и подставим данное значение в уравнение (9) S BC = P cos75 P1 cos60 S AB cos75 = ( ) = 68кН = 10 Отрицательное значение силы S BC указывает на то, что стержень СВ сжат, а не растянут, как мы предположили ранее Стержень АВ растянут ( S > 0 ) Ответ: AB S AB = 1 0кН, S BС = 68кН Методические указания к заданию 1 1 При выборе координатных осей рекомендуем направлять одну из осей вдоль какого-нибудь стержня, а вторую перпендикулярно ей, это облегчает решение задачи По окончании решения задачи необходимо сформулировать выводы и записать ответ Результат можно интерпретировать следующим образом: положительное значение усилия означает, что стержень растянут, отрицательное сжат 6

26 Варианты задания 1 Стрежни АВ и ВС прикреплены к опорам К шарниру В с помощью нитей, перекинутых через неподвижные блоки Д и Е, подвешены грузы веса P и F Определить усилия в стержнях Выбор варианта Из двадцати шести вариантов студент должен выбрать один, соответствующий его номеру в журнале преподавателя, а исходные данные студент выбирает из табл 1 в соответствии с цифрой шифра, которую указывает преподаватель Цифра шифра Исходные данные к заданиям Нагрузки P ( кн ) F ( кн ) Таблица 1 Вариант 1 Вариант 7

27 Вариант Вариант Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 8

28 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 1 Вариант 1 Вариант 1 9

29 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 0 0

30 Вариант 1 Вариант Вариант Вариант Вариант 5 Вариант 6 1

31 5 План решения задач по определению опорных реакций (задания а, б, в;, ) При решении такого типа задач план решения удобнее записать в более детализированном виде: 1 Выделить твердое тело, равновесие которого будем рассматривать для отыскания неизвестных сил (те объект равновесия), выбрав при этом систему координат Изобразить активные силы Отбросить связи и приложить к телу соответствующие реакции Определить, какая система сил действует на тело и убедиться в том, что данная задача является статически определимой, те количество неизвестных опорных реакций не превышает количества независимых уравнений статики, которые могут быть для нее записаны Если задача оказалась статически неопределимой, но при этом рассматриваемая конструкция является составной (те в ней есть внутренний шарнир), то конструкцию необходимо расчленить по шарниру, соединяющему две его части, и рассматривать равновесие каждой из частей в отдельности, получив две расчетные схемы Влияние частей конструкции друг на друга заменяем реакциями (см пример составной конструкции) 5 Для определенной нами системы координат выбрать моментные точки и составить уравнения равновесия в одной из форм (15) (17), стр 15 6 Решить полученную систему уравнений, те определить неизвестные реакции связей 7 Провести проверку полученных результатов и их анализ При решении стоит стремиться к написанию более простых уравнений с наименьшим числом неизвестных Для этого следует: а) оси координат направлять так, чтобы некоторые из неизвестных сил оказывались перпендикулярными к одной из выбранных осей; б) за моментную точку стоит выбирать ту, в которой пересекаются линии действия нескольких сил Тогда моменты этих сил относи-

32 тельно данной точки будут равны нулю и не войдут в уравнение моментов; в) в случае, если сила расположена не перпендикулярно к элементу конструкции, её необходимо раскладывать на две составляющие, параллельные координатным осям а) б) Рис 7 Стоит всегда помнить, что распределенную нагрузку необходимо заменять её равнодействующей, но если она расположена на двух частях составной конструкции, то равнодействующие от нее строятся на каждой части отдельно (рис 7, б) 6 Примеры решения задания Нахождение опорных реакций простых и составных балок при действии заданных сил 61 Задание а Определить реакции опор балки ДВ, находящейся под действием заданной системы сил, если P = 10кН, q = кн м и M = 1 кн м (рис 8) Необходимые размеры указаны на рисунке Дано: P = 10кН, q = кн м и M = 1 кн м Определить: реакции опор Решение 1 Будем рассматривать равновесие балки ДВ (рис 8) Рис 8 Заданная балка Выберем систему координат: ось Х вдоль балки вправо, а ось У вверх по вертикали (рис 9) На балку действуют следующие активные силы: сосре-

33 Рис 9 Балка с приложенными к ней активными силами Рис 10 Свободная балка с приложенными к ней активными силами и реакциями связей доточенная сила P, приложенная в точке С под углом 0 о к балке, распределенная нагрузка q на участке ДВ и пара сил с моментом равным M (рис 9) Разложим сосредоточенную силу P на две ее составляющие P x и P, где = P cos0 y P X P Y и = P sin 0 Распределенную нагрузку заменим ее равнодействующей: R = q ДB = 10 = 0кН (рис 9) Применив аксиому связей, отбросим опоры и компенсируем их действие реакциями Шарнирно — неподвижную опору А заменяем двумя взаимно перпендикулярными составляющими X Aи Y A, а невесомый стержень Рис 11 Расчетная схема В на реакцию R B, направленную вдоль невесомого стержня (рис 10) Теперь балка свободна и находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил X,Y, R, R, P, P и пары с моментом M (рис 11) Неизвестными являются три силы A A B X Y

34 A A B X, Y, R, и три независимых уравнения равновесия можно составить Следовательно, задача является статически определимой 5 Составляем уравнения равновесия в проекциях на оси X и Y и уравнение моментов Выбираем точку А в качестве моментной k = 1 k = 1 k = 1 FkX = 0 X A + P cos0 = 0, (7) FkY = 0 YA R + RB P cos60 = 0, (8) M A ( F ) = 0 M R 1+ R 6 P cos60 8 = 0 k 6 Из уравнения (7) находим X A, из (9) R B и из (8) Y A: X A = P cos0, M + R 1+ P cos60 8 R B =, 6 Y = R R + P cos60 A B Подставляя значения, получим X A = = 8 66кН, R B = 1 667кН, 6 Y A = кн 5 B (9) 7 Проведем проверку правильности составленных уравнений, для этого составим уравнение моментов относительно другой моментной точки, например В k = 1 M B ( F ) = 0 M Y 6 + R 5 P sin 0 = 0 k A, (10) = 0, Ошибка в 0 00кН м следствие округления результатов Значит, уравнения составлены верно, и реакции опор найдены правильно Знак у реакции X A указывает на то, что фактическое направление вектора X противоположно направлению, выбранному нами A

35 Ответ: X A = 8 66кН, Y A = 1 кн, R B = 1 667кН 6 Задание б Однородная горизонтальная балка в сечении А жестко заделана в стене На балку действует заданная система сил (рис 1) Размеры указаны на рисунке Определить реакции жесткой заделки, если F = 1кН, q = 1кН м, M = 6 кн м Дано: F = 10кН, q = кн м и M = 16 кн м Определить: реакции опоры балки Рис 1 Решение 1 Рассмотрим 6 равновесие балки АВ Выберем следующую систему координат: ось Х вдоль балки вправо, а ось У вверх по вертикали (рис 1) На балку действует заданная система сил: сила F, распределенная нагрузка интенсивностью q и пара сил с моментом равным M Связью для балки является жесткая заделка, препятствующая перемещению балки в горизонтальном и в вертикальном направлениях, а также ее повороту вокруг точки А Применив аксиому Рис 1 связей, отбросим жесткую заделку и заменим ее действие реакциями X A, Y A и реактивным моментом M A (рис 1) Распределенную нагрузку равнодействующей, приложенной к середине отрезка СВ: R = q BC = 6кН Балка находится в равновесии под действием активных сил и реакций связей X A,YA, R, F и двух пар сил с моментами M и M A Число неизвестных равно трем ( X, Y, M ), следовательно, задача статически определимая 5 Запишем уравнения равновесия в первой форме (15), при этом в качестве моментной используем точку А A A A

36 F = 0 X = 0, (11) k = 1 kx A FkY = 0 YA R F = 0, (1) k = 1 k = 1 ( F ) = 0 M + M R F 5 = 0 M A k A (1) 6 Из этих уравнений находим X A = 0кН, Y A = R + F = = 16кН, M A = M + R + F 5 = = 58кН м 7 Сделаем проверку полученных результатов и правильность составления уравнений Для этого составим уравнение моментов относительно точки В M k = 1 B ( F ) = 0 M Y 5 + M + R 1 = 0 k или = 0, = 0 Таким образом, реакции найдены правильно Ответ: A X A = 0кН, Y A = 16кН, = 58 кн м A 6 Задание в M A Пример 1 Для составной балки АВ определить реакции опор и давление в промежуточном шарнире С, если на балку действуют силы F = 10кН и q = кн м Необходимые размеры указаны на рисунке 1 Дано: F = 10кН, q = кн м Определить: реакции опор балки и давление в шарнире С Рис 1 Заданная балка 7 Решение 1 Объектом равновесия является вся составная балка АВ, которая опирается на жесткую заделку в точке А и шарнирно-подвижную опору в точке В Оси выбираем как в

37 предыдущих задачах (рис 15) На балку действуют распределенная нагрузка интенсивности q и сила F Внешними Рис 15 Свободная балка с приложенными к ней реакциями связей связями являются жесткая заделка в точке А и подвижный шарнир в точке В, внутренней связью соединительный шарнир С Применяя аксиому «освобождаемости от связей», отбросим внешние связи и заменим реакция- ми X A, Y A, M A и R B Можно составить лишь три независимых уравнения равновесия, так как к балке приложена плоская система сил, а число неизвестных реакций четыре Наличие соединительного шарнира С дает возможность расчленить балку на две части и рассматривать равновесие каждой части по отдельности, компенсируя их действие друг на друга реакциями X C и X ‘ C, Y C и Y ‘ C (рис 16) Рис 16 Балка с приложенными к ней реакциями связей и давлением в промежуточном шарнире Эти реакции приложены к разным частям конструкции и выражают действие одной части балки на другую На основании принципа равенства действия и противодействия эти реакции равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, те X ‘ C = XC и Y ‘ C = YC Из рис 16 видно, что в левой 8

38 части три неизвестных, она статически определима, поэтому с нее начинаем расчет 51 Составляем уравнения равновесия для части ВС (рис 17), заменив распределенную нагрузку равнодействующей R = q = 8кН и приложив ее к середине участка ВС: 1 F = 0, X = 0, (1) k = 1 k = 1 kx C ( F ) = 0, F 1 R 1+ Y = 0 M, (15) k = 1 B k ( F ) = 0, F R + R 1 = 0 MC k B (16) Рис 17 9 C 61 Из (1) (16) получаем: X = 0, C F + R Y C = = = 1кН, F + R R B = = = 19кН 5 В правой части балки АВ пять неизвестных (рис 18), но две из них уже найдены из левой части, тк X ‘ C = XC и Y ‘ C = YC Составляем уравнения равновесия для части АС балки, ведь она также должна быть неподвижной, F = 0, X ‘ + X = 0, (17) k = 1 kx F = 0, Y ‘ + Y = 0, (18) k = 1 k = 1 ky C C ( F ) = 0, Y’ M = 0 M (19) Рис 18 6 Решая уравнения, находим X X ‘ = 0, Y = Y ‘ = кн, M = Y = 1 = кн м A = C A C 1 A k A ‘ C C A A A

39 7 Проверку найденных реакций проведем из уравнения моментов, записав его для всей балки, в качестве моментной выберем точку С: 5 M k = 1 C ( F ) = 0, F R + R 1+ Y M = 0 k = 0, 0 0 = 0 Следовательно, реакции опор найдены верно Ответ: B X A = 0кН, Y A = 1кН, = кн м, R B = 19кН и X C = 0кН, Y C = 1кН M A A A, Пример Для составной балки АД определить реакции опор и давление в промежуточном шарнире С, если на балку наложены следующие силы F = 10кН, P = кн, q = 6кН м и M = 8 8кН м Необходимые размеры указаны на рис 19 Дано: F = 10кН, P = кн, q = 6кН м и M = 8 8кН м Определить: реакции опор и давление в промежуточном шарнире Рис 19 Заданная балка Решение 1 Объектом равновесия является вся составная балка АД, которая опирается на шарнирно-неподвижную опору в точке А и шарнирно-подвижные опоры в точках В и Д К ней приложены распределенная нагрузка интенсивности q, силы P и F, и пара сил с моментом равным M Внешними связями здесь являются шарнирно-неподвижная опора в точке А и шарнирно-подвижные опоры в точках В и Д, а внутренней связью соединительный шарнир С Применяя аксиому «освобождаемости от связей», отбросим внешние связи и заменим их реакциями X A, Y A, R B и R Д (рис 0) 0

40 Рис 0 Свободная балка с приложенными к ней реакциями связей Число неизвестных реакций четыре, но лишь три независимых уравнения равновесия можно составить, так как к балке приложена плоская система сил Поэтому возникает необходимость расчленить балку на две части по соединительному шарниру С, аналогично предыдущей задаче Далее будем рассматривать равновесие каждой части по отдельности, компенсируя их действие реакциями X C и X ‘ C, Y C и Y ‘ C (рис 1) Эти реакции приложены к разным частям конструкции и показывают действие одной части балки на другую На основании принципа равенства действия и противодействия эти реакции равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, те X ‘ C = XC и Y ‘ C = YC Рис 1 Балка с приложенными к ней реакциями связей и давлением в промежуточном шарнире 5 Из рис 1 видно, что в левой части конструкции пять неизвестных, а в правой только три Расчет начинаем с правой части 51 Вместо распределенной нагрузки на участке длиной м изображаем равнодействующую R = q 18кН, прикладывая ее к 1 = середине участка, те на расстоянии 1 5м от точки С 1

41 Рис Составляем уравнения равновесия для части СД (рис ) Записываем уравнение моментов для балки СД относительно моментной точки С 5 k= 1 ( F ) M C k = 0, R 15 M + RД 5 P 6 F sin , (0) k = = FkX = 0, X ‘ C F cos60 = 0, (1) FkY =, Y ‘ C R + Y P F sin 60 = 0 () k = Из уравнения (0) сразу находим реакцию опоры в точке Д R M + P 6 + F sin 60 7 R Д = = = = = кн 5 5 А из уравнений (1) и () получаем X ‘ C = F cos60 = 5кН и Y ‘ = R1 R + P + F sin 60 = = 666кН C Д 5 Рассмотрим балку АС (рис ) Рис Д Распределенную на участке 7 м нагрузку заменяем равнодействующей R = q 7 кн, = прикладывая её на расстоянии 5м от точки А Запишем уравнения равновесия в виде (16):

42 F = 0, X + X = 0, () k = 1 k = 1 kx M k = 1 A C A ( F ) =, P R 5 + R Y 7 = 0 k 0 ( F ) =, Y + R 05 Y P 6 = 0 M B k 0 C B A C, () (5) 6 Решая эти уравнения, находим X A = 5кН, Y A = 5 75кН, Y B = 50 05кН 7 Проверку найденных реакций проведем из уравнения для левой части проекций на ось Y: 5 F =, P + Y R + R Y = 0, (6) k = 1 ky 0 A = 0, = 0; для всей конструкции моментное уравнение относительно точки С: 9 ( ) B M = 0, (7) k = 1 C F k P 9 YA 7 + R 5 RB R1 15 M + RД 5 P 6 F sin60 7 = = 0 Реакции опор найдены верно Ответ: X A = 5кН, Y A = 5 75кН, R B = 50 05кН, R Д = кн и X C = 5кН, Y C = 6, 66кН C 0, 7 Методические указания к заданию 1 Изобразить под балкой расчетную схему Для этого заменяем распределенную нагрузку равнодействующей, силу, расположенную под углом к балке, раскладываем на две составляющие: горизонтальную и вертикальную Опоры заменяем опорными реакциями По окончании решения задачи необходимо сделать проверку полученных результатов

43 При расчете составной балки расчленяем её по врезному шарниру на два фрагмента, указывая давление промежуточного шарнира Расчет начинаем с той части конструкции, где меньше неизвестных реакций опор 8 Варианты задания а) Вычислить реакции опор горизонтальной балки, находящейся под действием заданных сил б) Однородная горизонтальная балка в сечении А жестко заделана в стене На балку действует заданная система сил Определить реакции опоры в) Определить реакции опор составной балки и давление в промежуточном шарнире С Выбор варианта Выбор варианта производится аналогично заданию 1, только исходные данные теперь студент выбирает из таблиц и Исходные данные к заданиям Таблица Цифра Заданные размеры (в метрах) шифра a b c 1 l l l

44 Циф ра шиф ра F 1 (кн) F (кн) q 1 (кн/м) Нагрузки q (кн/м) M 1 (кн м) Таблица M (кн м) а) б) в) 5

45 а) б) в) а) б) в) 6

46 а) б) в) 5 а) б) в) 7

47 6 а) б) в) 7 а) б) в) 8

48 8 а) б) в) 9 а) б) в) 9

49 10 а) б) в) 11 а) б) в) 50

50 1 а) б) в) 1 а) б) в) 51

51 1 а) б) в) 15 а) б) в) 5

52 16 а) б) в) 17 а) б) в) 5

53 18 а) б) в) 19 а) б) в) 5

54 0 а) б) в) 1 а) б) в) 55

55 а) б) в) а) б) в) 56

56 а) б) в) 5 а) б) в) 57

57 6 а) б) в) 9 Примеры решения задания Нахождение реакций опор стержневых конструкций Пример 1 Определить реакции опор для рамы, изображенной на рисунке, если F = 16кН, Рис 58 q = 1кН м, M = кн м Дано: F = 16кН, q = 1кН м и M = кн м Определить: реакции опор Решение 1 Рассмотрим равновесие рамы (рис ) На неё действуют распределенная нагрузка интенсивности q, сила F и пара сил с моментом равным M (рис 5) Наложены две связи: шар-

58 Рис 5 59 нирно-неподвижная в точке А и шарнирно-подвижная в точке В На основании аксиомы связей отбрасываем опоры и заменяем их реакциями связей Распределенную нагрузку заменяем равнодействующей силой R = q = 8кН (рис 5) Так как рама находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, и задача является статически определимой, то можно составить уравнения равновесия в форме (15) 5 F = 0, R + X = 0, (8) k = 1 kx A FkY = 0, YB + YA F = 0, (9) k = 1 k = 1 ( F ) = 0, Y R + M F 1 = 0 M A k B (0) 6 Из уравнения (8) находим X A = R = 8кН, из (0) R + M F 1 Y B = = кн, а из (9) YA = F YB = 60кН 7 Выполним проверку правильности составления уравнений равновесия Для этого запишем сумму моментов всех сил относительно точки С M k = 1 C ( F ) = 0, Y 1+ R + M + Y 1+ X F = 0 k B = 0, = 0 Следовательно, уравнения составлены верно и реакции найдены правильно A A,

59 Знак минус у значений реакций опор показывает, что направления реакций противоположны первоначально выбранным направлениям Ответ: X A = 8кН, Y A = 60кН, Y B = кн Пример Для рамы, изображенной на рис 6, определить реакции опоры, если F = 16кН, q = кн м, M = кн м Дано: F = 16кН, q = кн м и M = кн м Определить: реакции опоры Решение 1 Рассматриваемая рама жестко закреплена в точке А На неё действуют распределенная нагрузка интенсивности q, сила F и пара сил с моментом равным M (рис 6) а) Рис 6 Отбрасываем жесткую заделку и заменяем её действие реакциями связей: X A, Y A, M A (рис 7) Распределенную нагрузку можно заменить одной сосредоточенной силой R = q 10 = 0кН, приложенной к середине горизонтального стержня ригеля (рис 7, а), либо двумя равнодействующими: слева R = q 60 1 = 8кН и справа R = q 6 1кН, = которые прикладываем к серединам соответствующих частей ригеля (рис 7, б) Задача является статически определимой, составляем уравнения равновесия в форме (15) kx k = 1 5 F = 0, F + X = 0, (1) FkY = 0 k = 1, A а) R + Y = 0 либо A

60 б) Рис 7 б) R + YA R 0, () 1 = M A ( Fk ) = 0, k= 1 а) R 1 F M + M = 0 либо A 1 A = б) R F R M + M 0 () 6 Из уравнений (1) () находим: X A = F = 16кН, Y A = R = R + R 0кН, 1 = M A = R + F + M 1 = = R1 + F + R + M = 9кН м 7 Выполним проверку правильности составления уравнений равновесия Для этого вычислим сумму моментов всех сил относительно точки С 6 k = 1 ( F ) M = 0 R + F R M + M A + X 6 0, C k, 1 A = ( 16) =, 0 0 Уравнения составлены верно и реакции найдены правильно Знак минус у X A показывает, что направление реакции противоположно выбранному направлению Ответ: X A = 16кН, Y A = 0кН, = 9 кн м M A 10 Методические указания к заданию 1 Изобразить под рамой расчетную схему, для чего заменяем распределенную нагрузку равнодействующей Опоры заменяем опорными реакциями По окончании решения задачи необходимо сделать проверку полученных результатов 61

61 11 Варианты задания Определить реакции опор статически определимой рамы, взяв исходные данные к заданиям в таблицах и Выбор варианта Выбор варианта производится аналогично заданию 1 Вариант 1 Вариант Вариант Вариант Вариант 5 Вариант 6 6

62 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 1 6

63 Вариант 1 Вариант 1 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 0 6

64 Вариант 1 Вариант Вариант Вариант Вариант 5 Вариант 6 65

65 1 Пример решения задания Нахождение опорных реакций составной конструкции Для составной конструкции определить реакции опор и давление в промежуточном шарнире С, считая что на неё действуют: F = 10кН, q = кн м, M = 1 кн м (рис 8) Дано: F = 10кН, q = кн м и M = 1 кн м Определить: реакции опор и давление в шарнире С Решение 1 Объектом равновесия является вся конструкция (рис 8) На раму действуют сила F, пара сил с моментом M и распределенная нагрузка интенсивности q, которую заменяем равнодействующей R = q = 8кН (рис 9) Для упрощения расчетов разло- Рис 8 Рис 9 66 жим сосредоточенную силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие: F X, F Y (рис 0) Внешними связями являются шарнирно — неподвижная опора в точке А и шарнирноподвижные опоры в точках В и Д Внутренней связью, соединяющей две части конструкции, является соединительный шарнир С Применяя аксиому «освобождаемости от связей», отбросим внешние связи и заменим их реакциями (рис 9) Для плоской системы сил, приложенной к конструкции, можно составить лишь три независимых уравнения равнове-

66 сия, а число неизвестных реакций четыре: 67 X A, Y A, R B, R Д Определить их однозначно из трех уравнений невозможно Поэтому Рис 0 расчленяем конструкцию по внутренней связи (шарниру С) и рассмотрим равновесие каждой части по отдельности (рис 0 и рис 1) По аксиоме отвердевания взаимодействие частей конструкции друг с другом заменяем реакциями X C и X ‘ C, Y C и Y ‘ C, которые должны удовлетворять равенствам C Y C X’ = X и Y ‘ = (см пример задания в) 51 Начинаем расчет с правой части конструкции (СВ), тк неизвестных реакций для нее только три Составим уравнения равновесия, используя вторую форму представления (16), где в качестве моментных выбираем точки В и С (рис 0) FkX = 0, XC F cos60 = 0, () k = 1 k = 1 ( F ) = 0, X + Y 1+ F cos60 = 0 M B k C C, (5) k = 1 ( F ) = 0, R 1 F sin 60 1 = 0 MC k B (6) 61 Из этих уравнений определяем X C = F cos60 = = 5кН, XC + F cos60 YC = = = 0кН, 1 F sin 60 1 R B = = = 8 66кН 1 5 Теперь рассмотрим левую часть конструкции (АДС), для нее удобнее использовать первую форму записи уравнений равновесия C C

67 Рис 1 R Д (15) (рис 1), где в качестве моментной берем точку А F = 0, X + X ‘ = 0, (7) k = 1 kx A F = 0, R R + Y + Y’ = 0, k = 1 5 k = 1 ky Д (8) M = 0, ( ) A F k + R 1 M + Y ‘ 1 X’ = 0 (9) 6 Решаем их, используя равенства X ‘ = X = кн и C C C A C C 5 A X ‘ C = 5 Y ‘ = Y = кн, находим из (7) X = кн, из (9) R Y C C 0 R 1 M + Y ‘ C 1 X ‘ C = = = 5 = R + R Y ‘ = = кн Д 5 A Д C 5 C кн, из (8) 7 Сделаем проверку найденных реакций, рассматривая конструкцию как целую Составим уравнение моментов относительно точки С (рис 9) 7 M k = 1 R B ( ) C F k = 0, 1 F sin X Y 1 M + R R = 0, (0) A = 0, 0 = 0 Следовательно, верно определены реакции опор A Д Ответ: X A = 5кН, Y A = 5кН, R B = 8 66кН, R Д = 5 5кН, X C = 5кН, Y C = 0кН 68

docplayer.ru

Miassats.Ru

Механика пособие

Лекции и примеры решения задач механики

Учебники по теоретической механике

Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. 1983 г.

Дронг В.И. и др. Курс теоретической механики. Под ред. Колесникова К.С. Том 1. 2005 г.

Маркеев А.П. Теоретическая механика. 1999 г.

Суслов Г.К. Теоретическая механика. 1946 г.

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. 1986 г.

Терлецкий Я.П. Теоретическая механика. 1987 г.

Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Части 1 и 2. 1966 г.

Валентин Молотников: Техническая механика. Учебное пособие

Аннотация к книге «Техническая механика. Учебное пособие»

Похожие товары

Механика пособие

МЕХАНИКА УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (РАЗДЕЛ «СТАТИКА») И ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ. Кафедра строительной механики

Транскрипт

Юридические вопросы и ответы