Закон всемирного тяготения краткое

О. о законе всемирного тяготения кратко

ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.
Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном в 1666 г. Он гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m1 и m2, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть:

Здесь G — гравитационная постоянная, равная м;/(кг с;).
Легенда гласит, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения после того, как яму упало на голову яблоко. Но скорее всего, всё с античных философов вроде Эпикура, которые объясняли тяготение взаимным любовным влечением физических тел. Но Ньютону дать научное, математически оформленное объяснение тяготению. Ньютон очень гордился открытием своего закона, но всё же скромно признавался, что смог сделать его, лишь «став на плечи гигантов».
Всё началось с Коперника, который открыл, что «она вертится», и задача раскрытия механизма солнечной системы обрела основу. Вслед за польским учёным Коперником, английский Гильберт (1540—1603) внес свою лепту в объяснение тяготения, предположив, силы тяготения подобны силе магнитов. Француз же Рене Декарт предположил, что тяготение создают вихри тонкой невидимой материи, а планеты подобны телам попавшим в водяные воронки. Но строгий порядок в мысли о тяготении внес Иоганна Кеплер (1571—1630), который вывел количественные законы движения планет. Потом Галилей добавил закон инерции и принцип независимости действия сил. А вот уже Роберт Гук (1635—1703) сделал практически первый эскиз закона: «Все небесные тела производят притяжение к их центрам, притягивая не только свои части, как мы это наблюдали на Земле, но и другие небесные тела, находящиеся в сфере их действия».
В 1684 г. астроном Эдмунд Галлей (1656 — 1742), догадавшись, что сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, обратился к своему приятелю Ньютону с просьбой обсчитать эту идею, но оказалась, что тот уже давно всё подсчитал, но Королевское общество его расчёты не заценило. Галлей убедил Ньютона снова сдать свои результаты в Королевское общество, и тот отнес туда свой трактат «Предположения о движении». Таким образом миру стало известно о всемирном тяготении.
Через 200 лет после открытия Ньютоном своего закона в 1915 Альберт Эйнштейн создал общую теорию относительности. Оказалось, что теория Ньютона — приближение более общей теории, применимое при выполнении двух условий:
1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик: .
2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света: .
В рамках общей теории относительности, как и в других метрических теориях, постулируется, что гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а деформацией самого; пространства-времени, которая связана, в частности, с присутствием массы-энергии.

Но в сети можно найти массу роликов и текстов, показывающих что никакой гравитации нет. С вполне интересной аргументацией. Что же есть тогда? Вращение, заряд-электричество. То есть, самои основы классической и даже не очень классической физики имеют червоточенку. Во как.
.
Но в целом всё ещё интересней. Гегель например, критиковал Ньютона, за этот закон. Гравитация-притяжение в принципе не возможны. Возможно только давление-отталкивание. Ф. Энгельс эту мысль поддержал. Российский физик Федулаев пытается построить на этой основе физическую теорию. По-моему, у него получилось бы успешнее, если бы он принял гипотезу вывернутой (вогнутой) Земли

www.proza.ru

Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести

По второму закону Ньютона причиной изменения движения, т. е. причиной ускорения тел, является сила. В механике рассматриваются силы различной физической природы. Многие механические явления и процессы определяются действием сил тяготения.

Закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс (рис. 1.10.1). Понятие центра масс тела будет строго определено в 1.23.

У однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

Гравитационные силы притяжения между телами.

В последующие годы Ньютон пытался найти физическое объяснение законам движения планет, открытых астрономом Иоганном Кеплером в начале XVII века, и дать количественное выражение для гравитационных сил. Зная как движутся планеты, Ньютон хотел определить, какие силы на них действуют. Такой путь носит название обратной задачи механики. Если основной задачей механики является определение координат тела известной массы и его скорости в любой момент времени по известным силам, действующим на тело, и заданным начальным условиям (прямая задача механики), то при решении обратной задачи необходимо определить действующие на тело силы, если известно, как оно движется. Решение этой задачи и привело Ньютона к открытию закона всемирного тяготения.

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной

Многие явления в природе объясняются действием сил всемирного тяготения. Движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если M – масса Земли, R – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

где gускорение свободного падения у поверхности Земли:

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с 2 . Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (R = 6,38·10 6 м), можно вычислить массу Земли М:

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рис. 1.10.2 иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на космонавта в космическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой космонавт весом 71,5 кг (Гагарин) притягивается к Земле вблизи ее поверхности равна 700 Н.

Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли

Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·10 6 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения:

где T = 27,3 сут – период обращения Луны вокруг Земли. Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли. Поэтому ускорение gЛ определится выражением:

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим теперь вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли. В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Мы рассмотрим здесь только случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ1. Эту скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим:

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Скорость спутника υ находится из условия

Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период T обращения такого спутника равен

Здесь T1 – период обращения спутника на околоземной орбите. Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

www.its-physics.org

Закон всемирного тяготения краткое

Изучить закон всемирного тяготения, показать его практическую значимость.

Компьютер, видеопроектор, экран, презентация, интерактивная доска

  • Учебник: Физика 10 класс / Мякишев Г.Я.: учеб. Для общеобразоват. учреждений.- М.: Просвящение. 2011
  • Сборник задач по физике для 10-11 классов./ Рымкевич А.П. — М.: Дрофа, 2010
  • Конспект по теме «Закон всемирного тяготения»

    Цель урока: Изучить закон всемирного тяготения, показать его практическую значимость.

    Задачи урока:

    сформировать понятие гравитационных сил, добиться усвоения закона всемирного тяготения, познакомить с опытным определением гравитационной постоянной;

    прививать интерес к физике и истории физики;

    показать роль мысленного эксперимента в научном познании;

    воспитывать чувство взаимопомощи и внимания друг к другу, умение работы в паре и в группе.

    развивать у учащихся умения и навыки сравнения, анализа причинно-следственных связей;

    формировать способности объединять разрозненные факты в единое целое.

    развивать логику мышления, в целях формирования научного мировоззрения.

    Оборудование к уроку:

    Компьютер, видеопроектор, экран, презентация, интерактивная доска.

    Этапы учебного занятия:

    1. Организационный (1мин.)

    2. Повторение изученного материала (5мин.)

    3. Изучение нового материала (20мин.)

    4. Самостоятельная работа (12-14мин.)

    5. Домашнее задание (1мин.)

    6. Подведение итогов (1мин.)

    2. Начнем с того, что мы уже знаем. Вспомним и ответим на следующие вопросы:

    • Перечислите основные физические величины динамики?
    • (Физическая величина, количественно характеризующая свойства тел приобретать разные скорости при взаимодействии, то есть характеризующая инертные свойства тела.)

    • Какую физическую величину называют силой?
    • Сила – физическая величина, количественно характеризующая внешнее воздействие на тело, в результате которого оно приобретает ускорение или деформируется.)

      (существуют такие системы отсчета, относительно которых тело (материальная точка) при отсутствии на нее внешних воздействий (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.)

      (Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех действующих на тело сил и обратно пропорционально массе тела.).

    • Третий закон Ньютона – закон взаимодействия.

    (Тела действуют друг на друга силами, равными по величине и противоположными по направлению. Пояснения к закону: 1) силы не компенсируют друг друга, так как приложены к разным телам; 2) пара сил взаимодействия всегда одной природы.)

  • Приведите пример взаимодействия тел и опишите пару сил взаимодействия между ними
  • Изобразите силы действия и противодействия в случае взаимодействия тел
  • N – реакция опоры,

    Fn – сила притяжения

    Fтр1 – приложено к бруску

    Fтр2 – к наклонной плоскости

    Мы повторили основные понятия, которые помогут нам изучить тему занятия.

    3.(На доске или экране вопросы и рисунок.)

    Сегодня мы должны ответить на вопросы:

    · почему наблюдается падение тел на Земле?

    · почему планеты движутся вокруг Солнца?

    · почему Луна движется вокруг Земли?

    Согласно II закону Ньютона, тело движется с ускорением только под действием силы. Сила и ускорение направлены в одну сторону.

    ОПЫТ. Шарик поднять на высоту и выпустить. Тело падает вниз. Мы знаем, что его притягивает к себе Земля, то есть на шарик действует сила тяжести.

    А только ли Земля обладает способностью действовать на все тела с силой, которую называют силой тяжести?

    В 1667 году английский физик Исаак Ньютон высказал предположение о том, что вообще между всеми телами действуют силы взаимного притяжения.

    Их называют теперь силами всемирного тяготения или гравитационными силами.

    Итак: между телом и Землей, между планетами и Солнцем, между Луной и Землей, между всеми телами действуют силы всемирного тяготения, обобщенные в закон.

    Все тела взаимодействуют друг с другом силой, прямо пропорциональной произведению масс этих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

    Закон справедлив для:

    1. Однородных шаров.

    2. Для материальных точек.

    3. Для сферической формы.

    Гравитационное взаимодействие существенно при больших массах, а для окружающих нас макротел сила взаимодействия очень мала.

    1. Закон не объясняет причин тяготения, а только устанавливает количественные закономерности.

    2. В случае взаимодействия трех и более тел задачу о движении тел нельзя решить в общем виде. Требуется учитывать «возмущения», вызванные другими телами (открытие Нептуна Адамсом и Леверье в 1846 г. и Плутона в 1930).

    3. В случае тел произвольной формы требуется суммировать взаимодействия между малыми частями каждого тела.

    Слайд 7

    1. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей тела.

    2. G — постоянная всемирного тяготения (гравитационная постоянная). Числовое значение зависит от выбора системы единиц.

    G = 6,67·10 –11 Н·м 2 /кг 2 = 6,67·10 –11 м 3 /кг·с 2 –гравитационная постоянная.

    Гравитационная постоянная численно равна модулю силы тяготения, дей­ствующей на тело массой 1 кг, со стороны другого тела такой же массы при расстоянии между ними, равном 1 м.

    Впервые гравитационная постоянная была измерена английским физиком Г. Кавендишем в 1788 г. с помощью прибора, называемого крутильными ве­сами. Г. Кавендиш закрепил два маленьких свинцовых шара (диаметром 5 см и массой 775 г каждый) на противоположных концах двухметрового стержня. Стержень был подвешен на тонкой проволоке. Два больших свинцовых шара (20 см диаметром и массой 45,5 кг) близко подводились к маленьким. Силы притяжения со стороны больших шаров заставляли маленькие перемещаться, при этом проволока закручивалась. Степень закручивания была мерой силы, действующей между шарами. Эксперимент показал, что гравитационная постоянная

    G = 6,66 · 10 -11 Н·м 2 /кг 2 .

    Схема опыта Кавендыша.

    Схематическое изображение крутильных весов Г. Кавендыша

    Исаак Ньютон произвел первые расчеты. Чтобы объяснить движение Луны, ему пришлось предположить, что сила тяготения Земли убывает с расстоянием. Если расстояние увеличивается в 2 раза, то сила уменьшается в 4 раза, а если расстояние увеличивается в 10 раз, то сила уменьшается в 100 раз (говорят, что сила обратно пропорциональна квадрату расстояния).

    По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс. У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

    5.упражнения на закрепление материала.

    1. Как изменится сила взаимодействия двух тел массами m1 и m2 , если массу одного из них увеличить в 2 раза, а массу другого уменьшить в 2 раза, не меняя расстояния между ними? (не изменится)

    Б) увеличится в 4 раза
    В) уменьшится в 4 раза
    Г) не изменится

    2. Что произойдет с силой гравитационного взаимодействия двух тел, если расстояние между ними увеличить в 3 раза? (В 9 раз уменьшится)

    А) увеличится в 3 раза

    Б) уменьшится в 3 раза
    В) уменьшится в 9 раз
    Г) не изменится

    3. Что произойдет с силой взаимодействия двух тел, если массу одного из них и расстояние между ними увеличить в 2 раза? (уменьшится в 2 раза)

    А) увеличится в 2 раза

    Б) уменьшится в 2 раза
    В) уменьшится в 4 раза
    Г) не изменится

    4. Почему пуговица, оторвавшись от пальто, падает на землю, ведь она находится значительно ближе к человеку и притягивается к нему? (потому что масса земли намного больше массы человека)

    А) потому что человек двигается

    Б) потому что земля больше намагничена
    В) потому что масса земли намного больше массы человека

    Г) Потому что Луна движется вокруг Земли

    5. Чем объясняется наличие и периодичность морских приливов и отливов на Земле? (движением Луны вокруг Земли)

    А) движением Луны вокруг Земли

    Б) движением Земли вокруг Солнца
    В) движением Земли относительно собственной оси
    Г) штормами

    4.Самостоятельная работа

    Вариант I.

    1. Какой путь пройдет свободно падающее тело за 3 сек?

    А) 15 м,
    Б) 45 м,
    В) 30 м,
    Г) 90 м.

    2. В трубке, из которой откачан воздух, на одной и той же высоте находятся дробинка, пробка и птичье перо. Какое из тел быстрее достигнет дна трубки?

    3. Чему равна скорость свободно падающего тела через 4 сек.

    А) 20 м/с,
    Б) 80 м/с,
    В) 40 м/с,
    Г) 160 м/с.

    4. Какой путь пройдет свободно падающее тело 5 сек?

    А) 45 м,
    Б) 50 м,
    В) 125 м,
    Г) 250 м.

    Вариант II.

    1. Чему равна скорость свободно падающего тела через 3 сек.

    А) 15 м/с,
    Б) 45 м/с,
    В) 30 м/с,
    Г) 90 м/с.

    2. Какой путь пройдет свободно падающее тело за 4 сек?

    3. Какой путь пройдет свободно падающее тело 7 сек?

    А) 65 м,
    Б) 245 м,
    В) 70 м,
    Г) 490 м.

    4. В трубке, с воздухом, при атмосферном давлении, на одной и той же высоте находятся дробинка, пробка и птичье перо. Какое из тел быстрее достигнет дна трубки?

    Вариант III.

    1. Чему равна скорость свободно падающего тела через 5 сек.

    А) 15 м/с,
    Б) 45 м/с,
    В) 50 м/с,
    Г) 90 м/с.

    2. Какой путь пройдет свободно падающее тело за 6 сек?

    А) 180 м,
    Б) 160 м,
    В) 40 м,
    Г). 20 м

    3. В трубке, из которой откачан воздух, на одной и той же высоте находятся дробинка, пробка и птичье перо. Какое из тел медленнее достигнет дна трубки?

    4. Какой путь пройдет свободно падающее тело 8 сек?

    А) 65 м,
    Б) 245 м,
    В) 320 м,
    Г) 490 м.

    Вариант IV.

    1.В трубке, с воздухом, при атмосферном давлении, на одной и той же высоте находятся дробинка, пробка и птичье перо. Какое из тел медленнее достигнет дна трубки?

    А) дробинка,
    Б) пробка,
    В) птичье перо,
    Г) все тела достигнут дна одновременно.

    2.Чему равна скорость свободно падающего тела через 6 сек.

    А) 15 м/с,
    Б) 45 м/с,
    В) 60 м/с,
    Г) 90 м/с.

    3. Какой путь пройдет свободно падающее тело за 2 сек?

    А) 20 м,
    Б) 160 м,
    В) 40 м,
    Г) 80 м.

    4. Какой путь пройдет свободно падающее тело 9 сек?

    А) 65 м,
    Б) 245 м,
    В) 405 м,
    Г) 490 м.

    www.openclass.ru

    Закон всемирного тяготения был сформулирован Исааком Ньютоном (\(1643-1727\)) и опубликован в \(1687\) году. В соответствии с этим законом, два точечных тела притягиваются друг к другу с силой, которая прямо пропорциональна массам этих тел \(\) и \(\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: \[F = G\frac<<>><<>>.\] Здесь \(r\) − расстояние между данными телами, \(G\) − гравитационная постоянная, значение которой, найденное экспериментальным путем, составляет \(G = 6,67 \times <10^< - 11>>\;\large\frac<<<\text<м>^3>>> <<\text<кг>\cdot <\text<с>^2>>>\normalsize.\)

    Сила гравитационного притяжения является центральной силой , т.е. направлена вдоль прямой, проходящей через центры взаимодействующих тел.

    В системе двух тел (рисунок \(2\)) на первое тело массой \(\) действует сила притяжения \(<\mathbf_<12>>\) со стороны второго тела. Аналогично на второе тело массой \(\) действует сила притяжения \(<\mathbf_<21>>.\) Обе силы \(<\mathbf_<12>>\) и \(<\mathbf_<21>>\) равны между собой по величине и направлены вдоль \(\mathbf,\) где \[\mathbf = <\mathbf_2> — <\mathbf_1>.\] С учетом \(2\)-го закона Ньютона можно записать следующие дифференциальные уравнения, описывающие движение каждого тела: \[ <\frac<<<\mathbf_1>>><>> = G\frac<<>><<>>\mathbf,>\;\;\; <\frac<<<\mathbf_2>>><>> = — G\frac<<>><<>>\mathbf> \] или \[ <\frac<<<\mathbf_1>>><>> = G\frac<<>><<>>\mathbf,>\;\;\; <\frac<<<\mathbf_2>>><>> = — G\frac<<>><<>>\mathbf.> \] Из последних двух уравнений следует, что \[ <\frac<<<\mathbf_1>>><>> — \frac<<<\mathbf_2>>><>> = G\frac<<>><<>>\mathbf + G\frac<<>><<>>\mathbf,>\;\; <\Rightarrow \frac<<\mathbf>><>> = -G\frac <<+ >><<>>\mathbf.> \] Данное дифференциальное уравнение описывает изменение вектора \(\mathbf\left( t \right),\) т.е. относительное движение двух тел под действем силы гравитационного притяжения.

    При большом различии в массах тел можно пренебречь массой меньшего тела в правой части полученного уравнения. Так, например, масса Солнца в \(333000\) раз больше массы Земли. В этом случае дифференциальное уравнение можно записать в более простом виде: \[\frac<<\mathbf>><>> = — G\frac<<>>><<>>\mathbf,\] где \(>\) − масса Солнца.

    Движение тела происходит вдоль прямой по направлению к центру Земли. Учитывая, что масса тела значительно меньше массы Земли, дифференциальное уравнение, описывающее его движение, записывается в виде \[\frac<<r>><>> = — G\frac<<>>><<>>,\] где \(>\) − масса Земли.

    Это нелинейное уравнение относится к типу \(y» = f\left( y \right)\) и допускает понижение порядка . Учитывая, что \[\frac<<r>><>> = \frac<><

    > = \frac<><>\frac<><
    > = v\frac<><>,\] уравнение принимает вид: \[v\frac<><> = — G\frac<<>>><<>>.\] Интегрируем его, разделяя переменные, при начальном условии \(v\left( \right) = 0:\) \[ >\frac<><<>>,>\;\; <\Rightarrow \int = — G>\int <\frac<><<>>> ,>\;\; <\Rightarrow \frac<<>> <2>= \frac<>>> + ,>\;\; <\Rightarrow v = \sqrt <\frac<<2G>>> + > .> \] Учитывая начальное условие, имеем: \[ <0 = \sqrt <\frac<<2G>>> + > ,>\;\; <\Rightarrow = — \frac<<2G>>>,>\;\; <\Rightarrow v = \sqrt <2G>\left( <\frac<1> — \frac<1>> \right)> .> \] В предельном случае при \(L \to \infty\) формула для скорости упрощается: \[v = \sqrt <\frac<<2G>>>> .\] Данное выражение можно переписать через ускорение свободного падения \(g = \large\frac<>>><^2>>\normalsize,\) где \(>\) − радиус Земли. Тогда \[v = \sqrt <\frac<<2G>>>> = \sqrt <\frac<<2gR_\text<З>^2>>> .\] Отсюда получаем, что при движении из бесконечности скорость тела в момент падения на землю будет составлять \[v\left( >> \right) = \sqrt <\frac<<2gR_\text<З>^2>><<>>> = \sqrt <2g>> ,\] то есть будет равна второй космической скорости \(v \approx 10,2\,\large\frac<\text<км>><\text<с>>\normalsize.\)

    При конечном значении \(L\) скорость тела в момент падения будет меньше второй космической скорости: \[ >> \right) = \sqrt <2G>\left( <\frac<1><<>>> — \frac<1>> \right)> > = <\sqrt <2gR_\text<З>^2\left( <\frac<1><<>>> — \frac<1>> \right)> > = <\sqrt <2g>\left( <1 - \frac<<>>>> \right)> > = <\sqrt <2g>> \sqrt <1 - \frac<<>>>> .> \] Определим теперь время падения тела на Землю, считая что начальное расстояние до центра Земли равно \(L.\) Поскольку \(\large\frac<><

    >\normalsize = — v,\) получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее закон движения тела вдоль радиальной оси: \[ <\frac<><
    > = — >\sqrt <2g>\sqrt <\frac<1> — \frac<1>> ,>\;\; <\Rightarrow \frac<><<\sqrt <\frac<1> — \frac<1>> >> = — >\sqrt <2g>dt,> \] где расстояние \(r\) изменяется от \(L\) до \(>.\)

    www.math24.ru